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已知函數的單調遞增區間為[m，n]
（1）求證f（m）f（n）=-4；
（2）當n-m取最小值時，點p（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）（a＜x₁＜x₂＜n），是函數f（x）圖象上的兩點，若存在x使得f′（x）=，x求證x₁＜|x|＜x₂．

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已知函數的單調遞增區間為[m，n]
（1）求證f（m）f（n）=-4；
（2）當n-m取最小值時，點p（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）（a＜x₁＜x₂＜n），是函數f（x）圖象上的兩點，若存在x使得f′（x）=，x求證x₁＜|x|＜x₂．

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（1）當時，求函數的單調遞增區間；
（2）若，使成立，求實數a的取值范圍；
（3）若函數的圖象在區間（1，+∞）內恒在直線下方，求實數的取值范圍．

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說明：

       一、本解答指出了每題要考查的主要知識和能力，并給出了一種或幾種解法供參考，如果考生的解答與本解答不同，可根據試題的主要內容比照評分標準制定相應的評分細則．

       二、對計算題，當考生的解答 某一步出現錯誤時，如果后繼部分的解答未改變該題的內容和難度，可視影響的程度決定后繼部分的給分，但不得超過該部分正確解答應給分數的一半；如果后繼部分的解答有較嚴重的錯誤，就不再給分．

       三、解答右端所注分數，表示考生正確做到這一步應得的累加分數．

       四、只給整數分數，選擇題和填空題不給中間分．

一、選擇題：本題主要考查基礎知識和基本運算．

1．B                  2．A                3．C            4．B                 5．C             6．B

7．C                  8．D                9．A            10．D               11．B              12．A

二、本大題:共4個小題；每小題4分，共16分.本題主要考查基礎知識和基本運算．

13．           14．        15．               16．② 、④

三、解答題:本大題共6小題，共74分．解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟．

17．解：．本小題主要考查三角函數的符號，誘導公式，兩角和差公式，二倍角公式，三角函數的圖象及單調性等基本知識以及推理和運算能力．滿分12分．

（1）∵且sin2=∴2sincos= ,sin≥0得cos＞0,從而sin+cos＞0  …3分

 ∴ =sin+cos===  …………………………6分

（2）∵∴=……………………………8分

  ∴時的單調遞增區間為[0，]和 [，].………………………………………12分

18．本小題主要考查直線和平面的位置關系，二面角的大小，點到平面的距離。考查空間想象能力、邏輯推理能力和運算能力．滿分12分．

解法一：（1）在直角梯形ABCD中，過點A作AN垂直BC，

垂足為N，易得BN=1，，同時四邊形ANCD是矩形，

則CN=1，點N為BC的中點，所以點N與點M重合,．………2分

連結AM，

因為平面ABCD，所以,又AD∥BC，

所以SM AD．…………………………………4分

（2）過點A作AG垂直SM于點G，

易證平面SAM,

則，在RT中， ，………………………………………7分

又AD∥平面SBC,所以點D到平面SBC的距離為點A到平面SBC的距離AG,大小值為；……………8分

（3）取AB中點E，因為是等邊三角形，所以,又,得，過點E作EF垂直SB于點F，連結CF，則，所以是二面角A-SB-C的平面角．………10分

在RT中，.在RT中，，所以二面角A-SB-C的大小為．………………………………………………………………………………………12分

解法二：（1）同解法一．

（2）根據（1），如圖所示，分別以AM,AD,AC所在射線為x,y,z軸建立空間直角坐標系．

有A(0,0,0)，M（，0，0），B（，-1，0），C（,1 ,0），D（0,1 ,0）,S（0,0 ,1）

所以，,．

設平面SBC的法向量，則,即

，

解得，取．……………………………………………………………………………6分

又=，則點D到平面SBC的距離

．………………………………………………………………8分

（3）設平面ASB的法向量，則,即

，

解得，取．……………………………………………………………………………10分

所以，則二面角A-SB-C的大小為．………………………………12分

19．本小題主要考查排列組合與概率的基礎知識，考查推理、運算能力與分類討論思想，以及運用數學知識解決實際問題的能力．滿分12分．

解：（1）依次成公差大于0的等差數列， 即為甲、乙、丙3個盒中的球數分別為0、1、2，此時的概率；…………………………………………………………………………3分

(2)解法一:依題意知，的取值為0、1、2、3．，…………………………4分

， ………………………………………………6分

，……………………8分

，…………10分

所以，隨機變量的概率分布列為：

0

1

2

3

P

數學期望為………………………………………………………12分

解法二:把甲、乙兩盒的球數合并成一盒，則每次擲骰子后球放入該盒中的概率……6分

且,分布列詳見解法一，…………………………………………………………………… 10分

……………………………………………………………………………………………12分

解法三:令,則；  ……………………………………………………6分

，，分布列詳見解法一，…………………………………………10分

………………………………………………………………………………12分

20．本小題主要考查等比數列和等差數列的概念和性質，以及數列求和的基本運算，考查學生解決數列問題的基本技能，要求學生具備較強的解決數列問題的能力．滿分12分．

解：（1）設等差數列的公差為，由  得

  ，，………………………………………………………………2分

  則  ，……………………………………………………………………………3分

， ，等比數列的公比，……………………………………………4分

  則 ， ………………………………………………………………………………5分

  ，中的每一項均為中的項；……………………………………………………6分

 （2）       ，……………………………………………………………7分

  由得：

   ，………………………………………………………………8分

      ，

     ，……………………………………………9分

 相減得：

 ，……………………………………………………………………11分

          .……………………………………………………………………12分

21．本小題主要考查橢圓的幾何性質、直線與圓錐曲線的位置關系；考查三角函數、方程、不等式的內容；考查解析幾何思想、分析問題、解決問題的能力．滿分12分．

解法一：（1）設T（x₀，y₀），由對稱性，不妨設，∴，

∴且；………………………………………………………………………………1分

∵直線L橢圓E只有一個公共點T，

由橢圓E：得，求導得，……………2分

∴直線L：，得；………………………………………………3分

∵直線L在軸上的截距為，令，得，∴；

∴直線L斜率的絕對值；……………………………………………………………5分

（2）直線L：與的交點

，……………………………………………………………………………6分

設，在RTDF₁AF₂和RTDF₁BF₂中，

，………………………………………………………………………7分

當時，

∴……………………………………………………8分

；…………………………………………………………………9分

∵且，∴，…………………………10分

∵最大值為120⁰，只需令，

∴，……………………………………………………………………………………11分

∴；∴

∴橢圓E的方程為．…………………………………………………………………………12分

解法二：（1）依題意設直線L：，代入橢圓E：整理得：

（*），……………………………………………………………………2分

∵直線L橢圓E只有一個公共點T，

∴方程（*）的，………………………………………………………3分

整理得：，①

∵直線L在軸上的截距為，∴代入①得，∴；………………………5分

（2）考慮對稱性，不妨設，由①得，

直線L：與的交點，…………………………6分

設，在RTDF₁AF₂和RTDF₁BF₂中，

，由①得，……………………………………………………7分

當時，

∴…………………………………………………………8分

，…………………………………………………………9分

∵且，∴，………………………………10分

∵最大值為120⁰，只需令，………………………………11分

∴；∴

∴橢圓E的方程為．…………………………………………………………………………12分

22．本小題主要考查函數、數列、不等式、導數等基礎知識，考查應用數學知識分析問題和解決問題的能力，考查數形結合、分類討論、化歸等數學思想方法．滿分12分．

解：（1）令． ………………………………………1分

令

x

(0,1)

1

(1,+

  +

   0

  －

g(x)

ㄊ

   極大值0

ㄋ

根據此表可知，當x=1時，g(x)的最大值為0.            

故當x>0時，都有g(x)≤0,即lnx≤x-1.          ………………………………………………………3分

(2) 解法一：……………………………4分

①     當k<0時, ,∴h(x)在(0,+上是減函數；

又當x>0且x趨近于零時,h(x)>0.

∴此時h(x)=0在上有解．        …………………………………………………………………5分

②當k>0時, 令得 x=(∵x>0)

x

  －

   0

 +

h(x)

ㄋ

   極小值

ㄊ

根據此表,當x=,h(x)的最小值為，………6分

依題意，當≤0，即時，關于x的方程f(x)=在上有解，……7分

綜上：k<0或.   ……………………………………………………………………………………8分

解法二：當x>0時，lnx=等價于…………………………………………………4分

令F(x)= 則，…………………………………………………………5分

令得.

x

+   

   0

－

F(x)

ㄊ

   極小值

ㄋ

根據此表可知, 當x=時,F(x)的最大為.………………………………………………………………6分

又當x>0且x趨近于零時,F(x)趨向于負無窮大．

依題意，當，即k<0或,時，關于x的方程f(x)=在上有解，

因此, 實數k的取值范圍為k<0或.………………………………………………………………8分

(3)由(1)可知,當x>1時,.

令x=k(k,則.  ……………………………………………………………………9分

于是

=  …………………………………10分

又當m時,

.

于是.

故≤.

所以原不等式成立． …………………………………………………………………………………………14分