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如圖.已知正方體ABCD-A1B1C1D1.求證:(1)平面AB1D1∥平面C1BD,(2)對角線A1C被平面AB1D1和平面C1BD三等分. 解析:本題若根據“一個平面內兩條相交的直線分別與另一平面內兩條相交的直線平行.則兩平面平行 是很容易解決論證平面AB1D1∥平面C1BD的.但兼顧考慮我們還是采用“兩平面垂直于同一直線則兩平面平行 的判定的方法. 證:(1)連AC.∵BD⊥AC.AC是A1C在底面上的射影.由三條垂線定理得A1C⊥BD.同理可證A1C⊥BC1. ∴A1C⊥平面C1BD.同理也能證得A1C⊥平面AB1D1. ∴平面AB1D1∥平面C1BD. (2)設A1到平面AB1D1的距離為h.正方體的棱長為a.則有:h·(a)2＝a· a2. ∴h＝a.同理C到平面C1BD的距離也為a.而A1C＝a.故A1C被兩平行平面三等分. 評析:論證A1C被兩平行平面三等分.關鍵是求A1到平面AB1D1的距離.C到平面C1BD的距離.這里用三棱錐體積的代換.若不用體積代換.則可以在平面A1ACC1中去考慮: 連A1C1.設A1C1∩B1D1＝O1.AC∩BD＝0.如圖連AO1.C1O.AC1.設AC1∩A1C＝K.A1C∩AO1＝M.C1O∩A1C＝N.可證M為ΔA1AC1的重心.N為ΔACC1的重心.則可推知MN＝NC＝A1M. 另外值得說明的是:A1C是面AB1D1和面BC1D的公垂線. 異面直線AD1和C1D的距離也等于MN. 【查看更多】

 

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