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第七部分 熱學

熱學知識在奧賽中的要求不以深度見長，但知識點卻非常地多（考綱中羅列的知識點幾乎和整個力學——前五部分——的知識點數目相等）。而且，由于高考要求對熱學的要求逐年降低（本屆尤其低得“離譜”，連理想氣體狀態方程都沒有了），這就客觀上給奧賽培訓增加了負擔。因此，本部分只能采新授課的培訓模式，將知識點和例題講解及時地結合，爭取讓學員學一點，就領會一點、鞏固一點，然后再層疊式地往前推進。

一、分子動理論

1、物質是由大量分子組成的（注意分子體積和分子所占據空間的區別）

對于分子（單原子分子）間距的計算，氣體和液體可直接用，對固體，則與分子的空間排列（晶體的點陣）有關。

【例題1】如圖6-1所示，食鹽（N_aCl）的晶體是由鈉離子（圖中的白色圓點表示）和氯離子（圖中的黑色圓點表示）組成的，離子鍵兩兩垂直且鍵長相等。已知食鹽的摩爾質量為58.5×10^－3kg/mol，密度為2.2×10³kg/m³，阿伏加德羅常數為6.0×10²³mol^－1，求食鹽晶體中兩個距離最近的鈉離子中心之間的距離。

【解說】題意所求即圖中任意一個小立方塊的變長（設為a）的倍，所以求a成為本題的焦點。

由于一摩爾的氯化鈉含有N_A個氯化鈉分子，事實上也含有2N_A個鈉離子（或氯離子），所以每個鈉離子占據空間為 v = 

而由圖不難看出，一個離子占據的空間就是小立方體的體積a³ ，

即 a³ =  = ，最后，鄰近鈉離子之間的距離l = a

【答案】3.97×10^－10m 。

〖思考〗本題還有沒有其它思路？

〖答案〗每個離子都被八個小立方體均分，故一個小立方體含有×8個離子 = 分子，所以…（此法普遍適用于空間點陣比較復雜的晶體結構。）

2、物質內的分子永不停息地作無規則運動

固體分子在平衡位置附近做微小振動（振幅數量級為0.1），少數可以脫離平衡位置運動。液體分子的運動則可以用“長時間的定居（振動）和短時間的遷移”來概括，這是由于液體分子間距較固體大的結果。氣體分子基本“居無定所”，不停地遷移（常溫下，速率數量級為10²m/s）。

無論是振動還是遷移，都具備兩個特點：a、偶然無序（雜亂無章）和統計有序（分子數比率和速率對應一定的規律——如麥克斯韋速率分布函數，如圖6-2所示）；b、劇烈程度和溫度相關。

氣體分子的三種速率。最可幾速率v_P ：f(v) = （其中ΔN表示v到v +Δv內分子數，N表示分子總數）極大時的速率，v_P == ；平均速率：所有分子速率的算術平均值， ==；方均根速率：與分子平均動能密切相關的一個速率，==〔其中R為普適氣體恒量，R = 8.31J/(mol.K)。k為玻耳茲曼常量，k =  = 1.38×10^－23J/K 〕

【例題2】證明理想氣體的壓強P = n，其中n為分子數密度，為氣體分子平均動能。

【證明】氣體的壓強即單位面積容器壁所承受的分子的撞擊力，這里可以設理想氣體被封閉在一個邊長為a的立方體容器中，如圖6-3所示。

考查yoz平面的一個容器壁，P =            ①

設想在Δt時間內，有N_x個分子（設質量為m）沿x方向以恒定的速率v_x碰撞該容器壁，且碰后原速率彈回，則根據動量定理，容器壁承受的壓力

 F ==                            ②

在氣體的實際狀況中，如何尋求N_x和v_x呢？

考查某一個分子的運動，設它的速度為v ，它沿x、y、z三個方向分解后，滿足

v² =  +  + 

分子運動雖然是雜亂無章的，但仍具有“偶然無序和統計有序”的規律，即

 =  +  +  = 3                    ③

這就解決了v_x的問題。另外，從速度的分解不難理解，每一個分子都有機會均等的碰撞3個容器壁的可能。設Δt = ，則

 N_x = ·3N_總 = na³                         ④

注意，這里的是指有6個容器壁需要碰撞，而它們被碰的幾率是均等的。

結合①②③④式不難證明題設結論。

〖思考〗此題有沒有更簡便的處理方法？

〖答案〗有。“命令”所有分子以相同的速率v沿+x、?x、+y、?y、+z、?z這6個方向運動（這樣造成的宏觀效果和“雜亂無章”地運動時是一樣的），則 N_x =N_總 = na³ ；而且v_x = v

所以，P =  = ==nm = n

3、分子間存在相互作用力（注意分子斥力和氣體分子碰撞作用力的區別），而且引力和斥力同時存在，宏觀上感受到的是其合效果。

分子力是保守力，分子間距改變時，分子力做的功可以用分子勢能的變化表示，分子勢能E_P隨分子間距的變化關系如圖6-4所示。

分子勢能和動能的總和稱為物體的內能。

二、熱現象和基本熱力學定律

1、平衡態、狀態參量

a、凡是與溫度有關的現象均稱為熱現象，熱學是研究熱現象的科學。熱學研究的對象都是有大量分子組成的宏觀物體，通稱為熱力學系統（簡稱系統）。當系統的宏觀性質不再隨時間變化時，這樣的狀態稱為平衡態。

b、系統處于平衡態時，所有宏觀量都具有確定的值，這些確定的值稱為狀態參量（描述氣體的狀態參量就是P、V和T）。

c、熱力學第零定律（溫度存在定律）：若兩個熱力學系統中的任何一個系統都和第三個熱力學系統處于熱平衡狀態，那么，這兩個熱力學系統也必定處于熱平衡。這個定律反映出：處在同一熱平衡狀態的所有的熱力學系統都具有一個共同的宏觀特征，這一特征是由這些互為熱平衡系統的狀態所決定的一個數值相等的狀態函數，這個狀態函數被定義為溫度。

2、溫度

a、溫度即物體的冷熱程度，溫度的數值表示法稱為溫標。典型的溫標有攝氏溫標t、華氏溫標F（F = t + 32）和熱力學溫標T（T = t + 273.15）。

b、（理想）氣體溫度的微觀解釋： = kT （i為分子的自由度 = 平動自由度t + 轉動自由度r + 振動自由度s 。對單原子分子i = 3 ，“剛性”〈忽略振動，s = 0，但r = 2〉雙原子分子i = 5 。對于三個或三個以上的多原子分子，i = 6 。能量按自由度是均分的），所以說溫度是物質分子平均動能的標志。

c、熱力學第三定律：熱力學零度不可能達到。（結合分子動理論的觀點2和溫度的微觀解釋很好理解。）

3、熱力學過程

a、熱傳遞。熱傳遞有三種方式：傳導（對長L、橫截面積S的柱體，Q = KSΔ

（1）如圖為“用DIS（位移傳感器、數據采集器、計算機）研究加速度和力的關系”的實驗裝置．實驗操作中，用鉤碼所受的重力作為小車所受外力，用DIS系統測定小車的加速度．在保持小車總質量不變的情況下，改變所掛鉤碼的數量，多次重復測量，將數據輸入計算機，得到如圖所示的a-F關系圖線．

①分析發現圖線在水平軸上有明顯的截距 （OA不為零），這是因為：
________________________________________________．
②（單選題）圖線AB段基本是一條直線，而BC段明顯偏離直線，造成此誤差的主要原因是                                                                   
A．小車與軌道之間存在摩擦          　　B．釋放小車之前就啟動記錄數據的程序
C．鉤碼總質量很小，遠小于小車的總質量   D．鉤碼總質量過大
（2）在測定一節干電池的電動勢和內電阻的實驗中，除備有：待測的干電池（電動勢約為1.5V，內電阻1.0Ω左右）、電流表A₁（量程0—3m A，最小刻度0.1mA，內阻忽略不計）、電流表A₂（量程0—0.6A，最小刻度0.02A，內阻忽略不計）、定值電阻R₀（990Ω）、開關和導線若干等器材，還備有兩滑動變阻器
A． R₁（0—20Ω，10 A）     B． R₂（0—200Ω，l A）
①某同學發現上述器材中雖然沒有電壓表，但給出了兩個電流表，于是他設計了如圖甲所示的（a）、（b）兩個實驗電路，其中合理的是______圖所示的電路；在該電路中，為了操作方便且能準確地進行測量，滑動變阻器應選______（填寫器材前的字母代號）．

②圖乙為該同學根據選出的合理的實驗電路，移動滑動變阻器，電流表A₁和電流表A₂分別測得多組I₁和I₂，并畫出I₁-I₂圖線，則由圖線可得被測電池的電動勢E＝______V，內阻r＝______Ω．

（1）如圖為“用DIS（位移傳感器、數據采集器、計算機）研究加速度和力的關系”的實驗裝置．實驗操作中，用鉤碼所受的重力作為小車所受外力，用DIS系統測定小車的加速度．在保持小車總質量不變的情況下，改變所掛鉤碼的數量，多次重復測量，將數據輸入計算機，得到如圖所示的a-F關系圖線．

①分析發現圖線在水平軸上有明顯的截距  （OA不為零），這是因為：

________________________________________________．

②（單選題）圖線AB段基本是一條直線，而BC段明顯偏離直線，造成此誤差的主要原因是                                                                    

A．小車與軌道之間存在摩擦           　　B．釋放小車之前就啟動記錄數據的程序

C．鉤碼總質量很小，遠小于小車的總質量   D．鉤碼總質量過大

（2）在測定一節干電池的電動勢和內電阻的實驗中，除備有：待測的干電池（電動勢約為1.5V，內電阻1.0Ω左右）、電流表A₁（量程0—3m A，最小刻度0.1mA，內阻忽略不計）、電流表A₂（量程0—0.6A，最小刻度0.02A，內阻忽略不計）、定值電阻R₀（990Ω）、開關和導線若干等器材，還備有兩滑動變阻器

A． R₁（0—20Ω，10 A）     B． R₂（0—200Ω，l A）

①某同學發現上述器材中雖然沒有電壓表，但給出了兩個電流表，于是他設計了如圖甲所示的（a）、（b）兩個實驗電路，其中合理的是______圖所示的電路；在該電路中，為了操作方便且能準確地進行測量，滑動變阻器應選______（填寫器材前的字母代號）．

②圖乙為該同學根據選出的合理的實驗電路，移動滑動變阻器，電流表A₁和電流表A₂分別測得多組I₁和I₂，并畫出I₁-I₂圖線，則由圖線可得被測電池的電動勢E＝______V，內阻r＝______Ω．

A．某物體沿著斜面勻速下滑，物體的動量守恒

B．系統在某方向上所受的合外力為零，則系統在該方向上動量守恒

C．如果系統內部有相互作用的摩擦力，系統的機械能必然減少，系統的動量也不再守恒

D．系統雖然受到幾個較大的外力，但合外力為零，系統的動量仍然守恒