題目列表(包括答案和解析)
已知函數f(x)＝x－ln(x＋m)在定義域內連續．
(1)求f(x)的單調區間和極值．
(2)當m為何值時，f(x)≥0恒成立？
(3)定理：若函數g(x)在[a，b]上連續，并具有單調性，且滿足g(a)與g(b)異號，則方程g(x)＝0在[a，b]內有唯一實根．
試用上述定理證明：當m∈N*且m＞1時方程f(x)＝0在[1－m，em－m]內有唯一實根．(e為自然對數的底)
已知非零向量a，b滿足：|a|＝2|b|，若函數f(x)＝
x3＋
|a|x2＋a·bx在R上有極值，設向量a，b的夾角為
，則cos的取值范圍為
[
，1]
(
，1]
[－1，
]
[－1，
)
若存在實數k和b，使得函數f(x)與g(x)對其定義域上的任意實數x分別滿足：f(x)≥kx＋b和g(x)≤kx＋b，則稱直線l：y＝kx＋b為f(x)與g(x)的“和諧直線”．已知h(x)＝x2，
(x)＝2elnx，(e為自然對數的底數)；
(1)
求F(x)＝h(x)－(x)的極值；
(
2)函數h(x)和(x)是否存在和諧直線？若存在，求出此和諧直線方程；若不存在，請說明理由．
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已知函數f(x)＝ax3＋bx2＋cx在x＝±1處取得極值，且在x＝0處的切線的斜率為－3.
(1)求f(x)的解析式；
(2)若過點A(2，m)可作曲線y＝f(x)的三條切線，求實數m的取值范圍．
【解析】本試題主要考查了導數在研究函數中的運用。第一問，利用函數f(x)＝ax3＋bx2＋cx在x＝±1處取得極值，且在x＝0處的切線的斜率為－3，得到c＝－3 ∴a＝1, f(x)＝x3－3x
(2)中設切點為(x0，x03－3x0)，因為過點A(2，m)，所以∴m－(x03－3x0)＝(3x02－3)(2－x0)分離參數∴m＝－2x03＋6x02－6
然后利用g(x)＝－2x3＋6x2－6函數求導數，判定單調性，從而得到要是有三解，則需要滿足－6<m<2
解：(1)f′(x)＝3ax2＋2bx＋c
依題意
又f′(0)＝－3
∴c＝－3 ∴a＝1 ∴f(x)＝x3－3x
(2)設切點為(x0，x03－3x0)，
∵f′(x)＝3x2－3，∴f′(x0)＝3x02－3
∴切線方程為y－(x03－3x0)＝(3x02－3)(x－x0)
又切線過點A(2，m)
∴m－(x03－3x0)＝(3x02－3)(2－x0)
∴m＝－2x03＋6x02－6
令g(x)＝－2x3＋6x2－6
則g′(x)＝－6x2＋12x＝－6x(x－2)
由g′(x)＝0得x＝0或x＝2
∴g(x)在(－∞，0)單調遞減，(0,2)單調遞增，(2，＋∞)單調遞減．
∴g(x)極小值＝g(0)＝－6，g(x)極大值＝g(2)＝2
畫出草圖知，當－6<m<2時，m＝－2x3＋6x2－6有三解，
所以m的取值范圍是(－6,2)．
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(x0)＝
．試用這個結論證明：若－1＜x1＜x2，函數g(x)＝
(x－x1)＋f(x1)，則對任意x∈(x1，x2)，都有f(x)＞g(x)；