已知△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，直角∠EPF的頂點P是BC中點，兩邊PE、PF分別交AB、AC于點E、F，給出以下四個結論：
①AE=CF；②△EPF是等腰直角三角形；③2S_{四邊形AEPF}=S_△ABC；④EF=AP，
當∠EPF在ABC內繞頂點P旋轉時（點E不與A、B重合），上述結論中始終正確的有

3

3

個．并請證明你認為正確的命題．

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已知△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，直角∠EPF的頂點P是BC中點，兩邊PE、PF分別交AB、AC于點E、F，給出以下四個結論：
①AE=CF；②△EPF是等腰直角三角形；③2S_{四邊形AEPF}=S_△ABC；④EF=AP，
當∠EPF在ABC內繞頂點P旋轉時（點E不與A、B重合），上述結論中始終正確的有______個．并請證明你認為正確的命題．

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如圖，已知△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，直角∠EPF的頂點P是BC中點，兩邊PE、PF分別交AB、AC于點E、F，給出以下四個結論：①AE=CF；②△EPF是等腰直角三角形；③S_{四邊形AEPF}=

1

2

S_△ABC；④BE+CF=EF．當∠EPF在△ABC內繞頂點P旋轉時（點E不與A、B重合）上述結論始終正確的結論個數為

3

3

．

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如圖，已知△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，直角∠EPF的頂點P是BC中點，兩邊PE、PF分別交AB、AC于點E、F，給出以下四個結論：①AE=CF；②△EPF是等腰直角三角形；③S_{四邊形AEPF}=S_△ABC；④BE+CF=EF．當∠EPF在△ABC內繞頂點P旋轉時（點E不與A、B重合）上述結論始終正確的結論個數為    ．

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一、選擇題：(共8個小題，每小題4分，共32分)

題號

1

2

3

4

5

6

7

8

答案

C

B

C

B

A

D

D

A

二、填空題：(共4個小題，每小題4分，共16分)

9．x≥－3    10．2(x－1)²    11．60°    12．±1

三、解答題：(共5個小題，每小題5分，共25分)

13．解：原式=+1+2－6×.                     4分

            =3.                                      5分

14．解：去分母，得3(x+1)+2x(x－1)=2(x－1)(x+1).        2分

去括號，得3x+3+2x²－2x=2x²－2.                       3分

解得x=－5.                                          4分

經檢驗x=－5是原方程的解．                          5分

∴原方程的解是x=－5．

15．解：x(x²－x)+x²(6－x)+3=x³－x²+6x²－x³+3.           3分

=5x²+3.                                             4分

∴原式=13.                                          5分

16．證明：∵△ABC是等邊三角形，

∴∠ABC=∠ACB=60°.BC=CA.                        2分

∴∠DBC=∠ECA=180°－60°=120°.                 3分

在△DBC與△ECA中，

∴△DBC≌△ECA．                                 4分

∴DC=AE．                                        5分

17．解：過點A、D分別作AE⊥BC、DF⊥BF，垂足分別為點E、F．       1分

（第17題圖）

在Rt△DCF中，∠DFC=90°．

由CD=4，cos∠C=，

得CF=CD?cos∠C=4×=1．                       2分

在梯形ABCD中，由AD∥BC，AB=CD，

∴∠B=∠C．

同理：BE=1                                        3分

易證四邊形AEFD為矩形．

∴EF=AD=4                                        4分

∴BC=6

∴梯形ABCD的周長為AD+AB+DC+BC=18             5分

四、解答題：(共2個小題，每小題5分，共10分)

18．解：(1)因為一次函數y=2x－1的圖象經過點(k，5)，

∴5=2k－1．

∴k=3．

所以反比例函數的解析式為y=．                    2分

(2)由題意得：

解這個方程組得：                  4分

因為點A在等一象限，則x>0，y>0

所以點A的坐標為(，2)．                         5分

19．(1)2400．                                      2分

(2)如圖．                                          3分

(3)∵200×=50(萬人)，

∴18～23歲的網癮人數約有50萬人．                5分

五、解答題：(共2個小題，每小題5分，共10分)

20．解：設日用品類的銷售額為x萬元，煙酒類的銷售額為y萬元．    1分

依題意得，                                3分

解得                                                   4分

答：日用品的銷售額為12萬元，煙酒類銷售額為60萬元．            5分

21．(1)證明：∵AB=AC，∴∠ABC=∠C，

∵∠C=∠D，∴∠ABC=∠D．

又∵∠BAE=∠DAB，

∴△ABE～△ADB．                                              2分

(2)連接OA．

∵BD為⊙O的直徑，∴∠BAD=90°．

Rt△BAD中，tan∠ADB=.

∴∠ADB=30°

∵AB=BD，BF=BO=AB．

∴△ABO是等邊三角形．∴∠ABO=∠OAB=60°．

又可得∠BAF=30°．

∴∠OAF=∠OAB+∠BAF=90°．

∴FA是⊙O的切線．                                           5分

六、解答題：(本題滿分5分)

22．(1)(2)各2分，(3)答案不唯一     1分．

七、解答題：(本題滿分7分)

23．解：(1)根據題意，得解得

∴拋物線的解析式為y=－x²－4x+5．                        2分

頂點D的坐標為(－2，9)．                                3分

(2)由拋物線的解析式y=－x²－4x+5．可得C點的坐標為(－5，0)．

∵B點的坐標為(0，5)，

∴直線CB的解析式為y=x+5.

<?>當OP∥CD，且OP≠CD時，四邊形PDCO為梯形．

∵直線CD的解析式為y=3x+15，OP∥CD，

∴直線OP的解析式為y=3x．

根據題意，得解得

∴點P .

∵OP=，CD=，

∴OP≠CD．

∴點P 即為所求．                                             5分

<ii>當DP∥CO，且DP≠CO時，四邊形PDCO為梯形．

根據題意，  解得

∴點P(4，9)．

∵OC=5，DP=6，

∴OC≠DP．

∴點P(4，9)即為所求．                                               7分

綜上所述，使四邊形PDCO為梯形的點P分別是P₁，P₂(4，9)．

八、解答題：(本題滿分7分)

24．(1)∵S_△POA?S_△PBC =×50×15××50×35=25²×15×35，

S_△PAB?S_△POC=×50×30××50×20=25²×30×20，

∴S_△POA?S_△PBC≠S_△PAB?S_△POC.                                         2分

∴P(20，15)不是“好點”．                                            3分

(2)設P(x，y)其中x，y均為正整數，且0<x<50，0<y<50．               4分

由S_△POA?S_△PBC=S_△PAB?S_△POC，

得y(50－y)=x(50－x)，

(x－y)(x+y－50)=0

∴x=y或x+y=50．                                                   6分

于是，點P在對角線OB或AC上．

故滿足條件的好點共有2×49－1=97個．                               7分

九、解答題：(本題滿分8分)

解：(1)S_{四邊形AEDF}=．                                               1分

(2)過點D作DM⊥AB，垂足為點M，

y=BE?DM=(3－x)?(3-x)(0≤x≤3)．                         3分

(3)<i>如圖a：連接AD，過點D分別作AB、AC的垂線，垂足為M，N

圖a

∵AB=AC=3，∠BAC=90°，

∴BC=．

∵BD=2CD，∴BD=，CD=．

易得，DN=1，DM=2，

易證∠1=∠2，

∠DME=∠DNF=90°

∴△DME∽△DNF．  ∴.

∴ME=2(x－1)．

∴AE=2(x－1)+1=2x－1．

∴y=S_△ADE+S_△ADF=(2x－1)?2+(3－x)?1=x+(1<x≤2)．                   6分

<ii>如圖b：過點D作AC的垂線，垂足為N，

圖b

∵AB=AC=3，∠BAC=90°，

∴BC=．

∵BD=2CD，∴BD=，CD=．

易得，DN=1，y=S_△ABC－S_△CDF =?1=(2<x≤3)                       8分

∴y=