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橢圓的長軸長為4，焦距為2，F(xiàn)₁、F₂分別為橢圓的左、右焦點，直線過點且垂直于橢圓的長軸，動直線垂直于點，線段垂直平分線交于點
（1）求橢圓的標準方程和動點的軌跡的方程。
（2）過橢圓的右焦點作斜率為1的直線交橢圓于A、B兩點，求的面積。
（3）設(shè)軌跡與軸交于點，不同的兩點在軌跡上，
滿足求證：直線恒過軸上的定點。

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已知橢圓的左、右焦點分別是F₁（-c，0）、F₂（c，0），Q是橢圓外的動點，滿足，點P是線段F₁Q與該橢圓的交點，點T在線段F₂Q上，并且滿足，。

（1）設(shè)x為點P的橫坐標，證明；
（2）求點T的軌跡C的方程；
（3）試問：在點T的軌跡C上，是否存在點M， 使△F₁MF₂的面積S=b²。若存在，求∠F₁MF₂的正切值；若不存在，請說明理由。

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已知橢圓的左、右焦點分別是F₁（-c，0）、F₂（c，0），Q是橢圓外的動點，滿足，點P是線段F₁Q與該橢圓的交點，點T在線段F₂Q上，并且滿足，。

（1）設(shè)x為點P的橫坐標，證明；
（2）求點T的軌跡C的方程；
（3）試問：在點T的軌跡C上，是否存在點M， 使△F₁MF₂的面積S=b²。若存在，求∠F₁MF₂的正切值；若不存在，請說明理由。

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一、選擇題：

1―5：BABDD            6―10:BABDC             11―12:AC

二、填空題：

13、1                   14、                     15、                  16、①③④

三、解答題：

17、解：（Ⅰ）         ……………………（2分）

即    即

………………………………………………………………（4分）

由于，故…………………………………………………（6分）

(Ⅱ)由知，

…………………………………………………………（8分）

…………（10分）

當且僅當，即時，取得最大值.

所以的最大值為，此時為等腰三角形.

18、解析：（1）抽取的4根鋼管中恰有2根長度相同的概率為：

……………………………………………………………………（3分）

（2）新焊接成鋼管的長度的可能值有7種，最短的可能值為5m，最長的可能值為11m.

當=5m與=11m時的概率為；

當=6m與=10m時的概率為；tesoon

當=7m與=9m時的概率為；

當=8m時的概率為.…………………………………………（9分）

的分布列為：

5

6

7

8

9

10

11

…………………………（12分）

19、（1）圓，當時，點在圓上，故當且僅當直線過圓心C時滿足.

圓心坐標為（1，1），…………………………………………………………（3分）

（2）由，消去可得.

得………………①

設(shè)，則……………………………………（5分）

，即=0.

又，，即.

.

故…………………………………………………………………………（9分）

又（當且僅當時取=）

   即………………②

由①②知，

直線的傾斜角取值范圍為：…………………………………………………（12分）

20、解：（1）設(shè)，

（）在[-1,1]上是增函數(shù)………………………………………（3分）

（2），解得：…………………………（7分）

（3）對所有恒成立，等價于的最大值不大于.

又在[-1,1]上是增函數(shù)，在[-1,1]上的最大值為

即,得，

設(shè)，是關(guān)于的一次函數(shù)，要使恒成立，

只需即可，解得：或或.

21、解析：（1）設(shè)

在處有極值，即

在點（0，-3）處的切線平行于即

故…………………………………………………………………（4分）

（2）設(shè)

又時，(遞減)

時，（遞增）

曲線上任意兩點的連線的斜率恒大于.

解不等式得.

或…………………………………………………………（8分）

（3）設(shè)，則，時為[0,1]上的增函數(shù)

的值域是[-4. ].…………………………（12分）

22、解析：（1）圓與彼此外切，令為圓的半徑，

即，

兩邊平方并化簡得，

由題意得，圓的半徑，

即……………………………………………………………………（5分）

數(shù)列是以為首項，以2為公差的等差數(shù)列，

所以即.………………………………………………（8分）

（2），……………………………………………………（10分）

因為

…………………………………………………（12分）

所以………………………………………………………………………………（14分）

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