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（選做題）已知矩陣的一個特征值為3，求另一個特征值及其對應的一個特征向量．

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選作題，本題包括A、B、C、D四小題，請選定其中兩題，并在相應的答題區域內作答．若多做，則按作答的前兩題評分．解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．
A．（幾何證明選講）
如圖，AB是半圓的直徑，C是AB延長線上一點，CD切半圓于點D，CD=2，DE⊥AB，垂足為E，且E是OB的中點，求BC的長．
B．（矩陣與變換）
已知矩陣的屬于特征值b的一個特征向量為，求實數a、b的值．
C．（極坐標與參數方程）
在平面直角坐標系xOy中，已知點A（1，-2）在曲線（t為參數，p為正常數），求p的值．
D．（不等式選講）
設a₁，a₂，a₃均為正數，且a₁+a₂+a₃=1，求證：．

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A、選修4-1：幾何證明選講 
如圖，PA與⊙O相切于點A，D為PA的中點，
過點D引割線交⊙O于B，C兩點，求證：∠DPB=∠DCP．
B．選修4-2：矩陣與變換
已知矩陣的一個特征值為3，求另一個特征值及其對應的一個特征向量．
C．選修4-4：坐標系與參數方程
在極坐標系中，圓C的方程為，以極點為坐標原點，極軸為x軸的正半軸建立平面直角坐標系，直線l的參數方程為（t為參數），判斷直線l和圓C的位置關系．
D．選修4-5：不等式選講
求函數的最大值．

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一、選擇題：本題考查基礎知識和基本運算. 每題5分，滿分50分.

       1. B  2.A  3.D  4.D  5.C  6.B  7.D  8.A  9.B  10.C

二、填空題：本題考查基礎知識和基本運算. 每題4分，滿分20分.

       11.  31     12.  15   13.  16     14.  4  

15.  16+17+18+19=12+13+14+15+16=7+8+9+10+11+12+13.

三、解答題：本大題共6小題，共80分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

16．本題主要考查頻率分布表、直方圖、眾數、分層抽樣、分布列、期望等統計概率知識，考查學生運用所學知識解決實際應用問題的能力。滿分13分.

解：（I）①處填20，②處填0.35；

眾數為172.5cm……………3分

補全頻率分布直方圖如圖所示。

…………6分

（Ⅱ）用分層抽樣的方法，從中選

取20人,則其中“身高低于170cm”

的有5人，“身高不低于170cm”

的有15人。      ……7分

故ξ的可能取值為0，1，2，3；

           …………………10分

所以ξ的分布列為

ξ

0

1

2

3

P

                                                                  …………11分

所以：                    …………13分

17. 本題主要考查三視圖,線面位置關系，二面角的求法等基本知識，考查空間想像能力，探索運算求解能力和推理論證能力. 滿分13分.

法一:(Ⅰ)證明∵該幾何體的正視圖為矩形,側視圖為等腰直角三角形,俯視圖為直角梯形,

∴BA,BC,BB₁兩兩垂直.

以BA,BC,BB₁分別為x,y,z軸建立空間直角坐標系,……1分

則N(4,4,0),B₁(0,8,0),C₁(0,8,4),C(0,0,4)

∵=(4,4,0)?(-4,4,0)=-16+16=0

=(4,4,0)?(0,0,4)=0              ……3分

∴BN⊥NB₁, BN⊥B₁C₁且NB₁與B₁C₁相交于B₁,

∴BN⊥平面C₁B₁N;                                                    ……4分

(Ⅱ)∵BN⊥平面C₁B₁N, 是平面C₁B₁N的一個法向量=(4,4,0),           ……5分

設=(x,y,z)為平面NCB₁的一個法向量,

則，取=(1,1,2),     …7分

則cosθ===;                                ……9分

(Ⅲ)∵M(2,0,0).設P(0,0,a)為BC上一點,則=(-2,0,a)，∵MP∥平面CNB₁,

∴⊥?=(-2,0,a) ?(1,1,2)=-2+2 a =0 a =1.                ……12分

又MP平面CNB₁, ∴MP∥平面CNB₁, ∴當BP=1時MP∥平面CNB₁.     ……13分

法二:(Ⅰ)證明:由已知得B₁C₁⊥平面BNB₁,∴B₁C₁⊥BN,

BN=4= B₁N,BB₁=8, ∴BB₁²= BN²+ B₁N², ∴BN⊥B₁N

又B₁C₁與B₁N交于B₁, ∴BN⊥平面C₁B₁N；

(Ⅱ)過N作NQB₁C₁,則BCQN,又BN⊥平面C₁B₁N,

∴CQ⊥平面C₁B₁N,則CQ⊥B₁N, QN⊥B₁N ,∴∠CNQ是二面角C-B₁N-Q的平面角θ,

在Rt△CNQ中,NQ=4,CQ=4, ∴CN=4,cosθ==;

(Ⅲ)延長BA、B₁N交于R,連結CR,∵MP∥平面CNB₁,

MP平面CBR, 平面CBR∩平面CRN于CR,

∴MP∥CR, △RB₁B中ANBB₁,∴A為RB中點,

∴==,∴BP=1,因此存在P點使MP∥平面CNB₁.         ……………13分

18.本題主要考查學生運用正弦和余弦定理解決與三角形有關的實際問題的能力，考查學生的運算能力以及化歸與轉化的數學思想方法。滿分13分.

法一:1、在△ABC中,∵∠BAD=90°,∠ABD=45°,∴∠ADB=45°…2分

         ……………………4分

在中，

            ……………6分

在中，DC²=DB²+BC²-2DB?BCcos60°=(80)²+(40)²-2×80×40×

=9600                                                       ……………10分

                                             ………………11分

航模的速度（米/秒）                          ……………12分

答：航模的速度為2（米/秒）                              ……………13分

法二:（略解）、在中，中

在 中，DC²=AD²+AC²-2AD?ACcos60°=9600          ……………10分

                    ……………11分

航模的速度（米/秒）   ………12分

答：航模的速度為2（米/秒）   ……………13分

法三:（略解）、如圖建立直角坐標系，

則A(0，0)， B(80，0)， D(0，80）   …………2分

由，AC=40（1+）,∴C(60+20,20+20)         ……………7分

    ……………11分

航模的速度（米/秒）                          ……………12分

答：航模的速度為2（米/秒）                              ……………13分

19、本題主要考查直線、圓與橢圓的位置關系等基本知識，考查運算求解能力和探索求解、分析問題、解決問題的能力. 滿分13分

解： (Ⅰ) 設C（x, y）, ∵ , , ∴ ,

∴ 由定義知,動點C的軌跡是以A、B為焦點,長軸長為6的橢圓,除去與x軸的兩個交點.

設橢圓方程為

則a=3,c=2.∴b²=a²-c²=5.∴ 曲線M的方程為:  (y≠0).(缺y≠0的扣1分)……5分

(Ⅱ)法一: 即要使DE⊥DF, 用特值法k_DE=1,

由得14y²+30y=0,又y≠0, ∴y=-,代入DE得x=,

由對稱性知定點在x軸上, ∴最多只有定點Q……8分

設直線DE的方程為x=my+3,E(x₁,y₁),

由得(5m²+9)y²+30my=0, 又y≠0, ∴y₁=-

∴E(,-),                                     …………………10分

同理F(,)                                     …………………11分

k_QE-k_QF=-=-=0

得E、Q、F三點共線,得出定點坐標為．                     …………………13分

法二:當直線l的斜率存在時，設直線l的方程為yx=kx+m,E(x₁,y₁),F(x₁,y₁)，

由得，

由△=(18mk)²-36(5+9k²)(m²-5)>0, 得5+9k²- m²>0,

                        ………………………8分

又，

因為以EF為直徑的圓過點等價于，即

，，

.解得：，，且均滿足，

當m₁=-3k時，l的方程為y=k(x-3)，直線過點Q(3,0)，因為點Q不在曲線M上，此時l與曲線M沒有兩個公共點，不合題意；

當時，的方程為，直線過定點．      ……………11分

當直線l的斜率不存在時，直線與曲線M交于兩點，此時

，由，得，點在曲線M上，，所以，解得，即直線 滿足條件.

  ∴直線過定點，定點坐標為．             ……………………………13分

20. 本題主要考查函數、導數的基本知識及用導數處理函數性質，遞推數列及不等式、數學歸納法等基礎知識，同時考查考生函數與方程思想、分類與整合思想、化歸與轉化思想等及推理論證能力、運算求解能力及創新意識．滿分14分.

解: (Ⅰ)f '(x)= -,又函數f(x)在x=1處有極值,∴f '(1)=0,a=1,經檢驗符合題意 ……2分

g'(x)= -,

當x∈(0,1)時, g'(x)<0, g(x)為減函數, 當x =1時,g'(x)=0, 當x∈(1,+∞)時g'(x)>0，g(x)為增函數,∴g(x)在x =1時取得極小值g(1)=2+b,依題意g(1)≤0, ∴b≤-2,

∴b的最大值為-2;                     ………………………………………………4分

(Ⅱ)f '(x)= -,

當f (x)在(1，2)上單調遞增時, -≥0在[1，2]上恒成立, ∴a ≤x²,令h(x)= x²,

則h'(x)= ( x²+2 x)>0在[1，2]上恒成立, 即h(x) 在[1，2]上單調遞增,

∴h(x) 在[1，2]上的最小值為h(1)=1, ∴a≤1;      ……………………………………7分

當f(x)在[1,2]上單調遞減時,同理a≥x²