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如圖，已知斜三棱柱ABC-A₁B₁C₁的底面是直角三角形，∠C=90°，側棱與底面所成的角為α（0°＜α＜90°），點B₁在底面上的射影D落在BC上．
（1）求證：AC⊥平面BB₁C₁C；
（2）當α為何值時，AB₁⊥BC₁，且使點D恰為BC中點？
（3）（理科做）當α=arccos

1

3

，且AC=BC=AA₁時，求二面角C₁-AB-C的大小．

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一、選擇題   D C C C A    C B CAB   D B

二、填空題  13.  14.  15. -8  16.

三、解答題

17.(10分)  解：（Ⅰ）由已知得

由余弦定理得，即…………………………3分

因為銳角△ABC中，A＋B＋C＝p，，所以，則

………………………6分

（Ⅱ），則．將，代入余弦定理：得解得．…10分

18.（12分） 解：（Ⅰ）依題意，當甲連勝局或乙連勝局時，第二局賽完時比賽結束．

有．   解得或．  ，  ．…5分                            

（Ⅱ）依題意知，的所有可能值為2，4，6．       

設每兩局比賽為一輪，則該輪賽完時比賽結束的概率為．

若該輪賽完時比賽還將繼續，則甲、乙在該輪中必是各得1分，此時，該輪比賽結果對下輪比賽是否停止沒有影響．

從而有，　， ．

隨機變量的分布列為：                           

2

4

6

…………………………………………………………………………………………10分

   ………………………………………………12分

19.（12分）解：（Ⅰ）,面,

,又,

面.    …………………………………………………………4分

（Ⅱ）過作垂足為，則．

過作，垂足為，由三垂線定理得;

是所求二面角的平面角.……………………6分
設，，

在中，由，

得，所以．

在中,,，

故所求二面角的度數為．…………………………………………8分

（Ⅲ）面,要使,由三垂線定理可知，只需,

為菱形，此時

又,要使為中點，只需,

即為正三角形，．

,且點D落在BC上，即為側棱與底面所成的角．

故當時， 且使點D為BC的中點．………………12分

20.（12分）

 解：(Ⅰ)    

_{…………………………………………………………………………………………2分}

由．

  ……5分

（Ⅱ）若的圖像與的圖像恰有四個不同交點，

即有四個不同的根，亦即方程有四個不同的根．…………………7分

令，

則．…………………8分

當變化時的變化情況如下表：

-1

(-1,0)

0

(0,1)

1

(1,)

的符號

+

0

-

0

+

0

-

的單調性

ㄊ

極大值

ㄋ

極小值

ㄊ

極大值

ㄋ

由表格知：．……10分

可知，當時，

_{…………………12分}

21.（12分）解：(Ⅰ)由題意：點P是AB的垂直平分線與BF的交點，

且

    ∴P點軌跡為以A、F為焦點的橢圓.………………………………3分

設方程為

……………………………………………6分

（Ⅱ）假設存在滿足題意的直線l，若l斜率不存在，易知

不符合題意，故其斜率存在，設為k，設

……………8分

解得   代入驗證成立

…………………………………………12分

22. 解：（Ⅰ） 由   

 ∴   ……………………………………………………3分

（Ⅱ）∵

∴，

∴…………7分

（Ⅲ）由（Ⅱ）知

而

當時，

法1：∴

∴…………………………12分

法2：原不等式只需證：

∵時，

∴    

∴