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在中，滿足,是邊上的一點.

（Ⅰ）若,求向量與向量夾角的正弦值；

（Ⅱ）若，=m  (m為正常數) 且是邊上的三等分點.，求值；

（Ⅲ）若且求的最小值。

【解析】第一問中，利用向量的數量積設向量與向量的夾角為，則

令=，得，又，則為所求

第二問因為，=m所以，

（1）當時，則= 

（2）當時，則=

第三問中，解：設,因為，；

所以即于是得

從而

運用三角函數求解。

（Ⅰ）解：設向量與向量的夾角為，則

令=，得，又，則為所求……………2分

(Ⅱ)解：因為，=m所以，

（1）當時，則=；-2分

（2）當時，則=；--2分

（Ⅲ）解：設,因為，；

所以即于是得

從而---2分

==

=…………………………………2分

令，則，則函數，在遞減，在上遞增，所以從而當時，

 

在中，已知 ，面積，

（1）求的三邊的長；

（2）設是（含邊界）內的一點，到三邊的距離分別是

①寫出所滿足的等量關系；

②利用線性規劃相關知識求出的取值范圍.

【解析】第一問中利用設中角所對邊分別為

由得

    

又由得即 

又由得即 

又       又得

即的三邊長

第二問中，①得

故

②

令依題意有

作圖，然后結合區域得到最值。

 

A、(- π 4 ， π 2 )

B、(0， π 2 )

C、(0， 3π 4 )

D、( π 2 ， 3π 4 )

在m（m≥2）個不同數的排列P₁P₂…P_n中，若1≤i＜j≤m時P_i＞P_j（即前面某數大于后面某數），則稱P_i與P_j構成一個逆序．一個排列的全部逆序的總數稱為該排列的逆序數．記排列（n+1）n（n-1）…321的逆序數為a_n，如排列21的逆序數a₁=1，排列321的逆序數a₃=6．
（Ⅰ）求a₄、a₅，并寫出a_n的表達式；
（Ⅱ）令bn=

an

an+1

+

an+1

an

，證明2n＜b₁+b₂+…+b_n＜2n+3，n=1，2，…．

在數列{a_n}中，a₁=1，2an+1=(1+

1

n

)2an．
（Ⅰ）求{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）令bn=an+1-

1

2

an，求數列{b_n}的前n項和S_n；
（Ⅲ）求數列{a_n}的前n項和T_n．