題目列表(包括答案和解析)
在前面的學習中，我們通過對同一面積的不同表達和比較，根據圖①和圖②發現并驗證了平方差公式和完全平方公式
這種利用面積關系解決問題的方法，使抽象的數量關系因集合直觀而形象化。
【研究速算】
提出問題：47×43，56×54，79×71，……是一些十位數字相同，且個位數字之和是10的兩個兩位數相乘的算式，是否可以找到一種速算方法？
幾何建模：
用矩形的面積表示兩個正數的乘積，以47×43為例：
（1）畫長為47，寬為43的矩形，如圖③，將這個47×43的矩形從右邊切下長40，寬3的一條，拼接到原矩形的上面。
（2）分析：原矩形面積可以有兩種不同的表達方式，47×43的矩形面積或（40＋7＋3）×40的矩形與右上角3×7的矩形面積之和，即47×43＝（40＋10）×40＋3×7＝5×4×100＋3×7＝2021，用文字表述47×43的速算方法是：十位數字4加1的和與4相乘，再乘以100，加上個位數字3與7的積，構成運算結果。
歸納提煉：
兩個十位數字相同，并且個位數字之和是10的兩位數相乘的速算方法是（用文字表述） .
【研究方程】
提出問題：怎么圖解一元二次方程
幾何建模：
（1）變形：
（2）畫四個長為
，寬為
的矩形，構造圖④
（3）分析：圖中的大正方形面積可以有兩種不同的表達方式，
或四個長，寬的矩形之和，加上中間邊長為2的小正方形面積
即： 
∵
∴
∴
∵
∴
歸納提煉：求關于的一元二次方程
的解
要求參照上述研究方法，畫出示意圖，并寫出幾何建模步驟（用鋼筆或圓珠筆畫圖，并標注相關線段的長）
【研究不等關系】
提出問題：怎么運用矩形面積表示
與
的大小關系（其中
）？
幾何建模：
（1）畫長
，寬
的矩形，按圖⑤方式分割
（2）變形：
（3）分析：圖⑤中大矩形的面積可以表示為；陰影部分面積可以表示為
，
畫點部分的面積可表示為，由圖形的部分與整體的關系可知：＞
，即
＞
歸納提煉：
當
，
時，表示
與
的大小關系
根據題意，設
，
，要求參照上述研究方法，畫出示意圖，并寫出幾何建模步驟（用鋼筆或圓珠筆畫圖，并標注相關線段的長）
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
| 7 |
| 8 |
| 7 |
| 8 |
一．1．C； 2．C； 3.C； 4．B； 5．Ｄ； 6．B； 7．A； 8．B； 9．A； 10．C。
二．11．x≥2； 12．1； 13．25°； １４．１４５； １５．１６；
１６．１８０； １７．①，③； １８．
三．１９解：原式
?????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 2分
???????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? ５分
當
時，原式
．??????????????????????????????????????????????????????? ７分．
２０．解：（1）
（名），
本次調查了90名學生．?????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? （2分）
補全的條形統計圖如下：
    （名），
（3）略（語言表述積極進取，健康向上即可得分）．?????????????????????????????????????????????? （7分） ２１．(本題滿分８分) 解：（1）如圖，由題意得，∠EAD=45°，∠FBD=30°． ∴ ∠EAC=∠EAD+∠DAC =45°+15°=60°． ∵ AE∥BF∥CD， ∴ ∠FBC=∠EAC=60°． ∴ ∠DBC=30°． ???????????????????????????????????????? 2分 又∵ ∠DBC=∠DAB+∠ADB， ∴ ∠ADB=15°． ∴ ∠DAB=∠ADB． ∴ BD=AB=2． 即B，D之間的距離為 （2）過B作BO⊥DC，交其延長線于點O， 在Rt△DBO中，BD=2，∠DBO=60°． ∴ DO=2×sin60°=2× 在Rt△CBO中，∠CBO=30°，CO=BOtan30°= ∴ CD=DO－CO= 即C，D之間的距離為
２２．解：（1） （2）290，甲，20．????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 6分（每空1分） （3）在5月17日，甲廠生產帳篷50頂，乙廠生產帳篷30頂．???????????????????????????????????? 6分 設乙廠每天生產帳篷的數量提高了
答：乙廠每天生產帳篷的數量提高了
２３．解：（1）① 等邊三角形；②重疊三角形 （2）用含
（3）能；t=2。．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．１０分． ２４．本小題滿分1０分． （Ⅰ）證明 將△ 則△
又由 由
得 又 ∴△ 有 ∴ ∴在Rt△ 得 （Ⅱ）關系式
則△ 有
又由 由
得 又 ∴△ 有 ∴ ∴在Rt△ 得 （３）．能；在直線ＡＢ上取點Ｍ，Ｎ使∠ＭＣＮ＝４５°．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．１０分 ２５．（本題滿分12分） 解：（1）設正方形的邊長為
即 解得
（注：通過觀察、驗證直接寫出正確結果給3分） （2）有側面積最大的情況． 設正方形的邊長為 則
即 改寫為
即當剪去的正方形的邊長為2.25cm時，長方體盒子的側面積最大為40.5cm2．?????????????? 7分
設正方形的邊長為 若按圖1所示的方法剪折，則
即
若按圖2所示的方法剪折，則
即
比較以上兩種剪折方法可以看出，按圖2所示的方法剪折得到的盒子側面積最大，即當剪去的正方形的邊長為 說明：解答題各小題只給了一種解答及評分說明，其他解法只要步驟合理，解答正確，均應給出相應分數． ２６．（本小題滿分12分） 解：（1）在Rt△ABC中， 由題意知：AP = 5－t，AQ = 2t， 若PQ∥BC，則△APQ ∽△ABC， ∴ ∴
（2）過點P作PH⊥AC于H． ∵△APH ∽△ABC， ∴ ∴ ∴ ∴ （3）若PQ把△ABC周長平分， 則AP+AQ=BP+BC+CQ． ∴ 解得： 若PQ把△ABC面積平分， 則 ∵ t=1代入上面方程不成立， ∴不存在這一時刻t，使線段PQ把Rt△ACB的周長和面積同時平分．???????????????? 9′ （4）過點P作PM⊥AC于Ｍ，PN⊥BC于N，
∵PM⊥AC于M， ∴QM=CM． ∵PN⊥BC于N，易知△PBN∽△ABC． ∴ ∴ ∴ ∴ 解得： ∴當 此時 在Rt△PMC中， ∴菱形PQP ′ C邊長為
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,BO=2×cos60°=1．??????????????????????????????????????????????????? ６分
，
（km）．
km． ????????????????????????????????????????????????????????????????????????? ８分
，則
?????????????????????????????????????? 7分
．
．?????????????????????????????????????????????????????????????????? 8分
的面積為
．?????????????????????????? 5分
的代數式表示重疊三角形
；?????????????????????????? 7分
．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．8分
沿直線
對折，得△
，連
，
有
，
，
，
．
，得 
． ????????????????????????????????????????? 2分
，
，
． ??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 3分
，
≌△
． ???????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 4分
，
．
．???????????????????????????????????????????????????????????? ５分
中，由勾股定理，
．即
． ??????????????????????????????????????????????????????? ６分
證明 將△
，連
，
，
，
，
．
．
，
．
． ??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? ８分
≌△
，
，
，
． 
中，由勾股定理，
．即
cm，則
．?????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 1分
．
（不合題意，舍去），
．
cm2，
．
．????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 5分
．
時，
．
（3）有側面積最大的情況．
．
．
時，
．??????????????????????????????????? 9分
．
．
時，
．??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 11分
cm時，折成的有蓋長方體盒子的側面積最大，最大面積為
cm2．
，
，
，
∴
．
??????????????????????????????????????????????????????? 3′
，
，
，
． ??????????????????????????????????????????? 6′
， 
．
， 即－
＋3t=3．
若四邊形PQP ′ C是菱形，那么PQ＝PC．
， ∴
，
， 
，
，
．
， 
，
，
．?????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 12′