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某工廠在“減員增效”工作中，規定下崗人員第一年可以到原單位領取全額工資，從第二年起，以后每年只能在原單位按上一年工資額的領取．該工廠根據下崗人員特長，創辦新的經濟實體．該實體預計第一年屬投資階段，沒有利潤，因而職員均無收入．第二年每人年收入可達b元，從第三年起每人年收入可在上一年的基礎上遞增．如果某工人下崗后立即轉入這個創辦的經濟實體，又設該工人下崗前的年工資額為a元．

①求這位工人下崗后第n年的年收入a_n的表達式；

②當時，這位工人哪一年的年收入最少？最少年收入是多少？

已知函數，.

（Ⅰ）若函數依次在處取到極值.求的取值范圍；

（Ⅱ）若存在實數，使對任意的，不等式 恒成立.求正整數的最大值.

【解析】第一問中利用導數在在處取到極值點可知導數為零可以解得方程有三個不同的實數根來分析求解。

第二問中，利用存在實數，使對任意的，不等式 恒成立轉化為，恒成立，分離參數法求解得到范圍。

解：（1）

①

（2）不等式 ，即，即.

轉化為存在實數，使對任意的，不等式恒成立.

即不等式在上恒成立.

即不等式在上恒成立.

設，則.

設，則，因為，有.

故在區間上是減函數。又

故存在，使得.

當時，有，當時，有.

從而在區間上遞增，在區間上遞減.

又[來源:]

所以當時，恒有；當時，恒有；

故使命題成立的正整數m的最大值為5

 

設函數

（1）當時，求曲線處的切線方程；

（2）當時，求的極大值和極小值；

（3）若函數在區間上是增函數，求實數的取值范圍.

【解析】（1）中，先利用，表示出點的斜率值這樣可以得到切線方程。（2）中，當，再令，利用導數的正負確定單調性，進而得到極值。（3）中，利用函數在給定區間遞增，說明了在區間導數恒大于等于零，分離參數求解范圍的思想。

解：（1）當……2分

    ∴

即為所求切線方程。………………4分

（2）當

令………………6分

∴遞減，在（3，+）遞增

∴的極大值為…………8分

（3）

①若上單調遞增。∴滿足要求。…10分

②若

∵恒成立，

恒成立，即a>0……………11分

時，不合題意。綜上所述，實數的取值范圍是

 

某熱電廠積極推進節能減排工作，技術改造項目“循環冷卻水系統”采用雙曲線型冷卻塔（如右圖），以使得冷卻器中排出的熱水在其中冷卻后可重復使用，從而實現熱電系統循環水的零排放．
（1）冷卻塔的外形是雙曲線的一部分繞其虛軸旋轉所成的曲面，要求它的最小半徑為12m，上口半徑為13m，下口半徑為20m，且雙曲線的離心率為

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，試求冷卻塔的高應當設計為多少？
（2）該項目首次需投入資金4000萬元，每年節能后可增加收入600萬元．投入使用后第一年的維護費用為30萬元，以后逐年遞增20萬元．為使年平均節能減排收益達到最大值，多少年后報廢該套冷卻塔系統比較適合？

某熱電廠積極推進節能減排工作，技術改造項目“循環冷卻水系統”采用雙曲線型冷卻塔（如右圖），以使得冷卻器中排出的熱水在其中冷卻后可重復使用，從而實現熱電系統循環水的零排放．
（1）冷卻塔的外形是雙曲線的一部分繞其虛軸旋轉所成的曲面，要求它的最小半徑為12m，上口半徑為13m，下口半徑為20m，且雙曲線的離心率為，試求冷卻塔的高應當設計為多少？
（2）該項目首次需投入資金4000萬元，每年節能后可增加收入600萬元．投入使用后第一年的維護費用為30萬元，以后逐年遞增20萬元．為使年平均節能減排收益達到最大值，多少年后報廢該套冷卻塔系統比較適合？