題目列表(包括答案和解析)
| 3 |
| 3 |
| 3 |
| 3 |
| x2 |
| a2 |
| y2 |
| b2 |
| 3 |
| ||
| 3 |
|
| π |
| 4 |
| 2 |
在平面直角坐標系中，O為坐標原點，已知點
，
，
若點C滿足
，點C的軌跡與拋物線
交于A、B兩點．
（I）求證：
；
（II）在
軸正半軸上是否存在一定點
，使得過點P的任意一條拋物線的弦的長度是原點到該弦中點距離的2倍，若存在，求出m的值；若不存在，請說明理由.
在平面直角坐標系中，O為坐標原點，已知點
，
，若點C滿足
，點C的軌跡與拋物線
交于A、B兩點．
（I）求證：
；
（II）在
軸正半軸上是否存在一定點
，使得過點P的任意一條拋物線的弦的長度是原點到該弦中點距離的2倍，若存在，求出m的值；若不存在，請說明理由．
一、選擇題：ADBAA BCCDB
二、填空題
11.
; 12． 
;
13． 
14．（
）③⑤ （
）②⑤
15． （）
； （） 0
三、解答題：
16．解：（1）
…………5分
由
成等比數列，知
不是最大邊
…………6分
（2）由余弦定理
得ac=2 …………11分
=
…………12分
17.解：（Ⅰ）
．
（Ⅱ）
．
1當
時，則
．此時輪船
更安全．
2當
時，則
．此時輪船和輪船
一樣安全．
3當
時，則
．此時輪船更安全．
解：方法一
（Ⅰ）取
的中點
，連結
，由
知
，又
，故
，所以
即為二面角
的平面角.
在△
中，
，
，
，
由余弦定理有
，
所以二面角的大小是
.（6分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知道
平面，故平面
平面，故在平面
上的射影一定在直線上，所以點到平面
的距離即為△的邊上的高.
故
.
…（12分）
19．解: （Ⅰ）∵△ABC的邊長為
∵△ADE面積等于△ABC面積的一半，
∴
x?AEsin60°＝?
（
解得AE＝
，?
在△ADE中，由余弦定理:?
y2＝x2＋
?cos60°，?
∴y2＝x2＋
－
∴y＝
(a≤x≤
（Ⅱ）證明:∵y＝ (a≤x≤
且y＝
，設f（t）＝t＋
（a2≤t≤
當t∈（a2，
f（t1）－f（t2）＝（t1＋
）－（t2＋
）
＝（t1－t2）?
，?
∵a2＜t1＜t2＜
∴t1t2＞0，t1－t2＞0，t1t2－
∴f（t1）－f（t2）＞0，即f（t1）＞f（t2）?
∴f（x）在（a2，
同理可得，f（x）在（
又∵f（
a時，y有最小值，且ymin＝a，此時DE∥BC且AD＝a；當t＝a2或
a，此時DE為AB或AC邊上的中線.?
20.解：（Ⅰ）∵
，∴
，
又∵
，∴
，
∴
，
∴橢圓的標準方程為
．
………（3分）
當
的斜率為0時，顯然
=0，滿足題意，
當的斜率不為0時，設方程為
，
代入橢圓方程整理得：
．
，
，
．
則
，
而
∴
，從而．
綜合可知：對于任意的割線
，恒有．
………（8分）
（Ⅱ）
，
即：
，
當且僅當
，即
（此時適合于
的條件）取到等號．
∴三角形△ABF面積的最大值是
． ………………………………（13分）
21.解：（Ⅰ）由
故x>0或x≤－1
f(x)定義域為
…………………………（4分）
（Ⅱ）
下面使用數學歸納法證明：
①在n=1時，a1=1，<a1<2，則n=1時（*）式成立.
②假設n=k時
成立，
由
要證明：
只需
只需(2k+1)3≤8k(k+1)2
只需1≤4k2+2k
而4k2+2k≥1在k≥1時恒成立.
只需證：4k2+11k+8>0，而4k2+11k+8>0在k≥1時恒成立.
于是：
因此
得證.
綜合①②可知（*）式得證.從而原不等式成立. ………………9分
（Ⅲ）要證明：
由（2）可知只需證：
…………（**）
下面用分析法證明：（**）式成立。
要使（**）成立，只需證：
即只需證：(3n－2)3n>(3n－1)3(n－1)
只需證：2n>1
而2n>1在n≥1時顯然成立.故（**）式得證：
于是由（**）式可知有：
因此有：
……………………………………（13分）
雅禮中學2008屆高三第八次質檢數學（理科）試題參考答案
一、選擇題：ADBAA BCCDB
二、填空題
11.; 12． ;
13．
14．（）③⑤ （）②⑤
15． （）； （） 0
三、解答題：
16．解：（1）
…………5分
由成等比數列，知不是最大邊
…………6分
（2）由余弦定理
得ac=2 …………11分
= …………12分
17.解：（Ⅰ）．
（Ⅱ）．
1當時，則．此時輪船更安全．
2當時，則．此時輪船和輪船一樣安全．
3當時，則．此時輪船更安全．
解：方法一
（Ⅰ）取的中點，連結，由知，又，故，所以即為二面角的平面角.
在△中，，，，
由余弦定理有
，
所以二面角的大小是.（6分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知道平面，故平面平面，故在平面上的射影一定在直線上，所以點到平面的距離即為△的邊上的高.
故.
…（12分）
19．解: （Ⅰ）∵△ABC的邊長為
∵△ADE面積等于△ABC面積的一半，
∴x?AEsin60°＝?（
解得AE＝，?
在△ADE中，由余弦定理:?
y2＝x2＋?cos60°，?
∴y2＝x2＋－
∴y＝ (a≤x≤
（Ⅱ）證明:∵y＝ (a≤x≤
且y＝，設f（t）＝t＋（a2≤t≤
當t∈（a2，
f（t1）－f（t2）＝（t1＋）－（t2＋）
＝（t1－t2）?，?
∵a2＜t1＜t2＜
∴t1t2＞0，t1－t2＞0，t1t2－
∴f（t1）－f（t2）＞0，即f（t1）＞f（t2）?
∴f（x）在（a2，
同理可得，f（x）在（
又∵f（a時，y有最小值，且ymin＝a，此時DE∥BC且AD＝a；當t＝a2或a，此時DE為AB或AC邊上的中線.?
20.解：（Ⅰ）∵，∴，
又∵，∴，
∴，
∴橢圓的標準方程為．
………（3分）
當的斜率為0時，顯然=0，滿足題意，
當的斜率不為0時，設
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