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（08年雅禮中學一模理）(13分）  如圖，設是橢圓的左焦點，直線為對應的準線，直線與軸交于點，線段為橢圓的長軸，已知，且．

（Ⅰ）求證：對于任意的割線，恒有；

（Ⅱ）求三角形△ABF面積的最大值．

 

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（12分）如圖，設是橢圓的左焦點，直線為對應的準線，直線 與軸交于點，為橢圓的長軸，已知，且．
（1）求橢圓的標準方程；（2）求證：對于任意的割線，恒有；
（3）求三角形△ABF面積的最大值．

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一、選擇題：

ADBAA    BCCDC

二、填空題：

11． ；        12． ；      13．

14（i）  ③⑤     （ii）  ②⑤         15．（i）7;     （ii）_.

三、解答題：

16.解：（Ⅰ）

                                                                …………5分

由成等比數列，知不是最大邊

                                                    …………6分

（Ⅱ）由余弦定理

得ac=2                                                                                                        …………11分

=                                                                          …………12分

17．解：（Ⅰ）第一天通過檢查的概率為，       ………………………２分

第二天通過檢查的概率為，                  …………………………４分

由相互獨立事件得兩天全部通過檢查的概率為．        ………………６分

（Ⅱ）第一天通過而第二天不通過檢查的概率為，    …………８分

第二天通過而第一天不通過檢查的概率為，      ………………10分

由互斥事件得恰有一天通過檢查的概率為．     ……………………12分

18．解：方法一

（Ⅰ）取的中點，連結，由知，又，故，所以即為二面角的平面角.

在△中，，，，

由余弦定理有

，

所以二面角的大小是.                              （6分）

（Ⅱ）由（Ⅰ）知道平面，故平面平面，故在平面上的射影一定在直線上，所以點到平面的距離即為△的邊上的高.

故.                              …（12分）

19．解：（Ⅰ）設

則   ……①

     ……②

∴②－①得  2d²=0，∴d=p=0

∴                                            …………6分

（Ⅱ）當a_n=n時，恒等式為[S（1，n）]²=S（3，n）

證明：

相減得：

∴

相減得：

又

又

∴                                         ………………………………13分

20．解：（Ⅰ）∵，∴，

又∵，∴，

∴，

∴橢圓的標準方程為．                                      ………（3分）

當的斜率為0時，顯然=0，滿足題意，

當的斜率不為0時，設方程為，

代入橢圓方程整理得：．

，，．

則

          ，

而

∴，從而．

綜合可知：對于任意的割線，恒有．                ………（8分）

（Ⅱ），

即：，

當且僅當，即（此時適合于的條件）取到等號．

∴三角形△ABF面積的最大值是．                 ………………………………（13分）

21．解：（Ⅰ）              ……………………………………………4分

（Ⅱ）或者……………………………………………8分

（Ⅲ）略                                        ……………………………………13分

雅禮中學08屆高三第八次質檢數學（文科）試題參考答案

一、選擇題：

ADBAA    BCCDC

二、填空題：

11． ；        12． ；      13．

14（i）  ③⑤     （ii）  ②⑤         15．（i）7;     （ii）_.

三、解答題：

16.解：（Ⅰ）

                                                                …………5分

由成等比數列，知不是最大邊

                                                    …………6分

（Ⅱ）由余弦定理

得ac=2                                                                                                        …………11分

=                                                                          …………12分

17．解：（Ⅰ）第一天通過檢查的概率為，       ………………………２分

第二天通過檢查的概率為，                  …………………………４分

由相互獨立事件得兩天全部通過檢查的概率為．        ………………６分

（Ⅱ）第一天通過而第二天不通過檢查的概率為，    …………８分

第二天通過而第一天不通過檢查的概率為，      ………………10分

由互斥事件得恰有一天通過檢查的概率為．     ……………………12分

18．解：方法一

（Ⅰ）取的中點，連結，由知，又，故，所以即為二面角的平面角.

在△中，，，，

由余弦定理有

，

所以二面角的大小是.                              （6分）

（Ⅱ）由（Ⅰ）知道平面，故平面平面，故在平面上的射影一定在直線上，所以點到平面的距離即為△的邊上的高.

故.                              …（12分）

19．解：（Ⅰ）設

則   ……①

     ……②

∴②－①得  2d²=0，∴d=p=0

∴                                            …………6分

（Ⅱ）當a_n=n時，恒等式為[S（1，n）]²=S（3，n）

證明：

相減得：

∴

相減得：

又

又

∴                                         ………………………………13分

20．解：（Ⅰ）∵，∴，

又∵，∴，

∴，

∴橢圓的標準方程為．                                      ………（3分）

當的斜率為0時，顯然=0，滿足題意，

當的斜率不為0時，設方程為，

代入橢圓方程整理得：．

，，．

則

          ，

而

∴，從而．

綜合可知：對于任意的割線，恒有．                ………（8分）

（Ⅱ），

即：，

當且僅當，即（此時適合于的條件）取到等號．

∴三角形△ABF面積的最大值是．                 ………………………………（13分）

21．解：（Ⅰ）              ……………………………………………4分

（Ⅱ）或者……………………………………………8分

（Ⅲ）略                                        ……………………………………13分