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設點是拋物線的焦點，是拋物線上的個不同的點（）.

（1） 當時，試寫出拋物線上的三個定點、、的坐標，從而使得

；

（2）當時，若，

求證：；

（3） 當時，某同學對（2）的逆命題，即：

“若，則.”

開展了研究并發現其為假命題.

請你就此從以下三個研究方向中任選一個開展研究：

① 試構造一個說明該逆命題確實是假命題的反例（本研究方向最高得4分）；

② 對任意給定的大于3的正整數，試構造該假命題反例的一般形式，并說明你的理由（本研究方向最高得8分）；

③ 如果補充一個條件后能使該逆命題為真，請寫出你認為需要補充的一個條件，并說明加上該條件后，能使該逆命題為真命題的理由（本研究方向最高得10分）.

【評分說明】本小題若填空不止一個研究方向，則以實得分最高的一個研究方向的得分作為本小題的最終得分.

【解析】第一問利用拋物線的焦點為，設，

分別過作拋物線的準線的垂線，垂足分別為.

由拋物線定義得到

第二問設，分別過作拋物線的準線垂線，垂足分別為.

由拋物線定義得

第三問中①取時，拋物線的焦點為，

設，分別過作拋物線的準線垂線，垂足分別為.由拋物線定義得

，

則，不妨取；；；

解：（1）拋物線的焦點為，設，

分別過作拋物線的準線的垂線，垂足分別為.由拋物線定義得

因為，所以，

故可取滿足條件.

（2）設，分別過作拋物線的準線垂線，垂足分別為.

由拋物線定義得

   又因為

；

所以.

（3） ①取時，拋物線的焦點為，

設，分別過作拋物線的準線垂線，垂足分別為.由拋物線定義得

，

則，不妨取；；；，

則，

.

故，，，是一個當時，該逆命題的一個反例.(反例不唯一)

② 設，分別過作

拋物線的準線的垂線，垂足分別為，

由及拋物線的定義得

，即.

因為上述表達式與點的縱坐標無關，所以只要將這點都取在軸的上方，則它們的縱坐標都大于零，則

，

而，所以.

（說明：本質上只需構造滿足條件且的一組個不同的點，均為反例.）

③ 補充條件1：“點的縱坐標（）滿足 ”，即：

“當時，若，且點的縱坐標（）滿足，則”.此命題為真.事實上，設，

分別過作拋物線準線的垂線，垂足分別為，由，

及拋物線的定義得，即，則

，

又由，所以，故命題為真.

補充條件2：“點與點為偶數，關于軸對稱”，即：

“當時，若，且點與點為偶數，關于軸對稱，則”.此命題為真.（證略）

當兔子和狐貍處于同一棲息地時，忽略其他因素，只考慮兔子數量和狐貍數量的相互影響，為了簡便起見，不妨做如下假設：（1）由于自然繁殖，兔子數每年增長10%，狐貍數每年減少15%；（2）由于狐貍吃兔子，兔子數每年減少狐貍數的0.15倍，狐貍數每年增加兔子數的0.1倍；（3）第n年時，兔子數量用表示，狐貍數量用表示；（4）初始時刻（即第0年），兔子數量有只，狐貍數量有只。請用所學知識解決如下問題：

（1）列出兔子與狐貍的生態模型（、的關系式）；

（2）求出、關于n的關系式；

（3）討論當n越來越大時，兔子與狐貍的數量是否能達到一個穩定的平衡狀態，說明你的理由。