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已知曲線上動點到定點與定直線的距離之比為常數．

（1）求曲線的軌跡方程；

（2）若過點引曲線C的弦AB恰好被點平分，求弦AB所在的直線方程；

（3）以曲線的左頂點為圓心作圓：，設圓與曲線交于點與點，求的最小值，并求此時圓的方程.

【解析】第一問利用（1）過點作直線的垂線，垂足為D.

代入坐標得到

第二問當斜率k不存在時，檢驗得不符合要求；

當直線l的斜率為k時，；，化簡得

第三問點N與點M關于X軸對稱，設，， 不妨設．

由于點M在橢圓C上，所以．

由已知，則

，

由于，故當時，取得最小值為．

計算得，，故，又點在圓上，代入圓的方程得到．  

故圓T的方程為：

（13分）已知橢圓C的兩個焦點分別為，且點在橢圓C上，又.

   （1）求焦點F₂的軌跡的方程；

（本小題滿分12分）已知橢圓的離心率為，在橢圓C上，A，B為橢圓C的左、右頂點．

(1)求橢圓C的方程：

(2)若P是橢圓上異于A，B的動點，連結AP，PB并延長，分別與右準線相交于M₁，M2.問是否存在x軸上定點D，使得以M₁M₂為直徑的圓恒過點D?若存在，求點D的坐標：若不存在，說明理由．