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設函數y=f（x）對任意的實數x，都有，且當x∈[0，1]時，f（x）=27x²（1-x）．
（1）若x∈[1，2]時，求y=f（x）的解析式；
（2）對于函數y=f（x）（x∈[0，+∞）），試問：在它的圖象上是否存在點P，使得函數在點P處的切線與 x+y=0平行．若存在，那么這樣的點P有幾個；若不存在，說明理由．
（3）已知 n∈N^*，且 x_n∈x[n，n+1]，記 S_n=f（x₁）+f（x₂）+…+f（x_n），求證：0≤S_n＜4．

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一、選擇題：（本大題共8小題，每小題5分，共40分.）

題號

（1）

（2）

（3）

（4）

（5）

（6）

（7）

（8）

答案

A

B

A

D

D

B

C

C

二、填空題（本大題共6小題，每小題5分，有兩空的小題，第一空3分，第二空2分，共30分）

（9）    (10)(2,－1)   (11),或   （12）    (13)（0，1），（x－1）²+(y－3)²=1

（14）10，4n－2

三、解答題（本大題共6小題,共80分.）

（15）（共12分）
解：（Ⅰ）∵p = (sinx,cosx+sinx)，q=(2cosx,cosx－sinx),
          ∴f(x) = p?q=(sinx,cosx+sinx)?(2cosx,cosx－sinx)

                     =2sinxcosx+cos²x－sin²x………………………………………………2分

               =sin2x+cos2x……………………………………………………………4分

∴f() =…………………………………………………………………5分

又f(x) = sin2x+cos2x = ………………………………………6分

∴函數f(x)的最大值為. ……………………………………………………7分

當且僅當x=+k(kZ)時，函數f(x)取得最大值.
（Ⅱ）由2－≤2x+≤2+  (kZ) …………………………………9分

得－≤x≤+(kZ)， …………………………………………11分

∴函數f(x)的單調遞增區間為［－,+］  (k∈Z). …………12分

(16)(共14分)

解法一:

解：（Ⅰ）∵SA⊥AB,SA⊥AC,且AB∩AC=A. ∴SA⊥平面ABC.…………………………2分

   ∴AC為SC在平面ABC內的射影.  ……………………………………………3分

又AC⊥BC，∴BC⊥SC……………………………………………………………………4分

（Ⅱ）由(Ⅰ)BC⊥SC，又BC⊥AC，

∴∠SCA為所求二面角的平面角…………………………………………………………6分

又∵SB=4，BC=4，

∴SC=4.    ∵AC=2，∴∠SCA=60°…………………………………………………9分

即二面角A－BC－S的大小為60°

（Ⅲ）過A作AD⊥SC于D，連結BD，

由（Ⅱ）得BC⊥平面SAC，

又BC平面SBC，

∴平面SAC⊥平面SBC，

且平面SAC平面SBC=SC.

∴AD⊥平面SBC.

∴BD為AB在平面SBC內的射影.

∴∠ABD為AB與平面SBC所成角.…………………………11分

在Rt△ABC中，AB=，

在Rt△SAC中，SA==2，

AD=.

∴sinABD=.……………………………………………………………………13分

所以直線AB與平面SBC所成角的大小為arcsin.…………………………………14分

解法二:

解：(Ⅰ)由已知∠SAB=∠SAC=∠ACB=90°，

以C點為原點，建立如圖所示的空間直角坐標系C － xyz.

則A(0，2，0)，B（4，0，0），C（0，0，0），S（0，2，）.……………………………2分

則=（0，－ 2，），

=（－4，0，0）.
      ∴?=0.

∴SC⊥BC.…………………………………………………………4分（Ⅱ）∵∠SAB=∠SAC=90°，

∴SA⊥平面ABC.

∴=(0，0，)是平面ABC的法

向量.…………………………………………………………………5分

設側面SBC的法向量為

n=(x，y，z)，

=（0，－ 2，－），=（－4,0,0）.
      ∵?n=0，?n=0，

∴∴x=0.令z=1則y=，

則平面SBC的一個法向量n=(0，，1).……………………………………………7分

cos,n=       =.……………………………………………………8分

即二面角A－BC－S的大小為60°.……………………………………………………9分

（Ⅲ）由（Ⅱ）可知n=(0，－，1)是平面SBC的一個法向量.……………………………10分

又=(4，－2，0)，

∴cos，n=         =.…………………………………………13分

所以直線AB與平面SBC所成角為arcsin.…………………………………………14分

（17）（共13分）

解：（Ⅰ）設乙闖關成功的概率為P₁，丙闖關成功的概率為P₂………………………1分

         因為乙丙獨立闖關，根據獨立事件同時發生的概率公式得：

………………………………………………………………………3分

解得P₁=，P₂=.…………………………………………………………5分

答：乙闖關成功的概率為，丙闖關成功的概率為.

（Ⅱ）團體總分為4分，即甲、乙、丙三人中恰有2人過關，而另外一個沒過關.

設“團體總分為4分”為事件A，………………………………………………6分

則P（A）=（1－）.

………………………………………………………………………………………9分

答：團體總分為4分的概率為.

（Ⅲ）團體總分不小于4分，即團體總分為4分或6分，

設“團體總分不小于4分”為事件B，…………………………………………10分

由(Ⅱ)知團體總分為4分的概率為.

團體總分為6分，即3人都闖關成功的概率為 ………………12分

所以參加復賽的概率為P（B）=.…………………………………13分

答：該小組參加復賽的概率為.

(18)（共13分）

解：（Ⅰ）第5行第5個數是29.……………………………………………………………2分

 （Ⅱ）由f(1)=n²_，得a₁+a₂+a₃+…+a_n=n².…………………………………………………3分

設S_n是數列{a_n}的前n項和，∴S_n=n².……

當n=1時，a₁=S₁=1,…………………………………………………………………5分

當n≥2時,a_n=S_n－S_n－1=n²－(n－1)²=2n－1.………………………………………6分

又當n=1時，2n－1=1=a₁,

∴a_n=2n－1. ………………………………………………………………………8分

即數列{a_n}的通項公式是a_n=2n－1(n=1，2，3，…).

（Ⅲ）由(Ⅱ)知數列{a_n}是首項為1,公差為2的等差數列.……………………………9分

∵前m－1行共有項1+2+3+…+(m－1)= ，

∴第m行的第一項為=2×－1=m²－m+1.………………11分

∴第m行構成首項為m²－m+1，公差為2的等差數列，且有m項.

∴T_m=（m²－m+1）×m+×2=m³.……………………………………13分

（19）（共14分）

解：（Ⅰ）設Q（x,y），由已知得點Q在FP的中垂線上，……………………………1分

 即|QP|=|QF|. ……………………………………………………………………2分

 根據拋物線的定義知點Q在以F為焦點，直線m為準線的拋 物線上，…4分

 所以點Q的軌跡方程為y²=4x(x≠0). …………………………………………6分

（注：沒有寫出x≠0扣1分）

(Ⅱ)當直線l的斜率不存在時，點A坐標為（2，），點B坐標為（2，－），

   ∵點F坐標為(1，0)，可以推出∠AFB≠…………………………………8分

    當直線l的斜率存在時，

    設l的方程為y=k(x－2)，它與拋物線y²=4x的交點坐標分別為A(x₁,y₁)，

B(x₂,y₂)

由

得x₁x₂=4，y₁y₂=－8.……………………………………10分

假定θ=，則有cosθ=,

如圖，即，           （*）

由定義得|AF|=x₁+1,|BF|=x₂+1.

從而有|AF|²+|BF|²－|AB|²

=(x₁+1)²+(x₂+1)²－(x₁－x₂)²－(y₁－y₂)²

=－2(x₁+x₂)－6

∴|AF|?|BF|=（x₁+1）(x₂+1)=x₁x₂+x₁+x₂+1=x₁+x₂+5.…………………………12分

將上式代入(*)得,即x₁+x₂+1=0.

這與x₁＞0且x₂＞0相矛盾.

綜上,θ不能等于.…………………………………………………………14分

（20）（共14分）

解：（Ⅰ）=－3x²+2ax.………………………………………………………………1分

           據題意，=tan=1, ∴－3+2a=1，即a=2.……………………………3分

     （Ⅱ）由(Ⅰ)知f(x)=x³+2x²4,

則f′（x）=3x²+4x.

x

1

（1,0）

0

（0，1）

1

f′（x）

7

0

+

1

f（x）

1

4

3

…………………………………………………………………………………5分

∴對于m[1,1],f（m）的最小值為f（0）=4……………………………6分

∵f′（x）=3x²+4x的對稱軸為x=,且拋物線開口向下，

∴x[1，1]時，f′（x）最小值為f′（1）與f′（1）中較小的.

∵f′（1）=1, f′（1）=7,

∴當x[1，1]時，f′（x）最小值為7.

∴當n[1，1]時，f′（n）最小值為7.……………………………………7分∴f（m）+ f′（n）的最小值為11.……………………………………………8分（Ⅲ）∵f′（x）=3x（x）.

①若a≤0，當x＞0時，f′（x）＜0, ∴f（x）在[0，+∞]上單調遞減.

又f（0）=4，則當x＞0時, f（x）＜4.

∴當a≤0時，不存在x₀＞0，使f（x₀）＞0.…………………………………11分

②若a＞0，則當0＜x＜時，f′（x）＞0，當x＞時，f′（x）＜0.

從而f（x）在（0, ]上單調遞增，在[，+∞)上單調遞減.

∴當x（0，+∞）時，f（x）_max=f（）=+4=4.

據題意，4＞0，即a³＞27. ∴a＞3. …………………………………14分

綜上，a的取值范圍是（3，+∞）.

說明：其他正確解法按相應步驟給分.