題目列表(包括答案和解析)
已知橢圓
的離心率為
，以原點為圓心，橢圓的短半軸長為半徑的圓與直線
相切．
（I）求橢圓
的方程；
（II）若過點
（2，0）的直線與橢圓相交于兩點
，設
為橢圓上一點，且滿足
（O為坐標原點），當
＜
時，求實數
的取值范圍．
【解析】本試題主要考查了橢圓的方程以及直線與橢圓的位置關系的運用。
第一問中，利用
第二問中，利用直線與橢圓聯系，可知得到一元二次方程中
，可得k的范圍，然后利用向量的＜不等式，表示得到t的范圍。
解：（1）由題意知
如圖，
，
，…，
，…是曲線
上的點，
，
，…，
，…是
軸正半軸上的點，且
，
，…，
，…
均為斜邊在軸上的等腰直角三角形（
為坐標原點）．
（1）寫出
、
和
之間的等量關系，以及、和
之間的等量關系；
（2）求證：
（
）；
（3）設
，對所有，
恒成立，求實數
的取值范圍．
【解析】第一問利用有
，
得到
第二問證明：①當
時，可求得
，命題成立；②假設當
時，命題成立，即有
則當
時，由歸納假設及
，
得
第三問
．………………………2分
因為函數
在區間
上單調遞增，所以當時，
最大為
，即
解：（1）依題意，有，，………………4分
（2）證明：①當時，可求得，命題成立；
……………2分
②假設當時，命題成立，即有，……………………1分
則當時，由歸納假設及，
得．
即
解得
（
不合題意，舍去）
即當時，命題成立． …………………………………………4分
綜上所述，對所有，． ……………………………1分
（3） 
．………………………2分
因為函數在區間上單調遞增，所以當時，最大為，即
．……………2分
由題意，有
．
所以，
如圖,已知圓錐體
的側面積為
，底面半徑
和
互相垂直，且
，
是母線
的中點.
（1）求圓錐體的體積；
（2）異面直線與
所成角的大小（結果用反三角函數表示）．
【解析】本試題主要考查了圓錐的體積和異面直線的所成的角的大小的求解。
第一問中，由題意，
得
，故
從而體積
.2中取OB中點H，聯結PH,AH.
由P是SB的中點知PH//SO，則
(或其補角)就是異面直線SO與PA所成角.
由SO
平面OAB,
PH平面OAB,PHAH.在
OAH中，由OAOB得
；
在
中，
，PH=1/2SB=2，，
則
，所以異面直線SO與P成角的大arctan
解：（1）由題意，得，
故從而體積.
（2）如圖2，取OB中點H，聯結PH,AH.
由P是SB的中點知PH//SO，則(或其補角)就是異面直線SO與PA所成角.
由SO平面OAB,PH平面OAB,PHAH.
在OAH中，由OAOB得；
在中，，PH=1/2SB=2，，
則，所以異面直線SO與P成角的大arctan
在等比數列
中，
，
；
（1）求數列的通項公式；
（2）求數列的前
項和
【解析】第一問中利用等比數列中，，兩項確定通項公式即可
第二問中，在第一問的基礎上，
然后求和。
解：（1）由題意得到：
……6分
（2） ……①
…… ②
①-②得到 
某廠制造A種電子裝置45臺，B種電子裝置55臺，為了給每臺裝置裝配一個外殼，要從兩種不同規格的薄鋼板上截取．已知甲種薄鋼板每張面積為2m2，可做A種外殼3個和B種外殼5個；乙種薄鋼板每張面積為3m2，可做A種和B種外殼各6個，用這兩種薄鋼板各多少張，才能使總的用料面積最小？（請根據題意，在下面的橫線處按要求填上恰當的關系式或數值）
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