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設線段AB的兩個端點A，B分別在x軸、y軸上滑動，且|AB|=5，若，則點M的軌跡方程為（ ）
A．
B．
C．
D．

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如圖，線段AB的兩個端點A、B分別分別在x軸、y軸上滑動，|AB|=5，點M是AB上一點，且|AM|=2，點M隨線段AB的運動而變化．
（1）求點M的軌跡方程；
（2）設F₁為點M的軌跡的左焦點，F₂為右焦點，過F₁的直線交M的軌跡于P，Q兩點，求S△PQF2的最大值，并求此時直線PQ的方程．

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一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分．

1．B   2．C   3．【理】C　 【文】B    4．A    5．C   6．D

7．C   8．C   9．【理】D   【文】B    10．A   11．B　12．【理】C  【文】D

二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.

13．　2　          14．  　　       15． 　　　　16．    

三、解答題：本大題共6小題，共70分．

17．（本題滿分10分）

解：.……….2分

   （Ⅰ）當，

.             ………5分

   （Ⅱ）【理】    ………7分

，

.              ………10分

【文】        ………8分

 .          ………10分

18．（本題滿分12分）

解：（Ⅰ）甲射擊一次，未擊中目標的概率為，     ………2分

因此，甲射擊兩次，至少擊中目標一次的概率為.       ……...6分

（Ⅱ）設“甲、乙兩人各射擊兩次，甲擊中目標2次，乙未擊中”為事件；“甲、乙兩人各射擊兩次，乙擊中目標2次，甲未擊中”為事件；“甲、乙兩人各射擊兩次，甲、乙各擊中1次”為事件，

則

；               ………7分

；              ………8分

．          ………9分

因為事件“甲、乙兩人各射擊兩次，共擊中目標2次”為，而彼此互斥，

所以，甲、乙兩人各射擊兩次，共擊中目標2次的概率為

.           ……….12 分     

19．（本題滿分12分））

【理科】解：（Ⅰ）

兩式相減得

從而，           ………3分

,可知..

又.

數列是公比為2，首項為4的等比數列,           ………5分

因此  （）          ………6分

   （Ⅱ）據（Ⅰ）

(當且僅當n=5時取等號).                ………10分

恒成立，

因此的最小值是   .    ………12分

   【文科】（Ⅰ）∵等差數列中，公差，

∴，                 ………3分

              ………6分

   （Ⅱ）      ,         ………8分

  令，即得，   ………10分

_.

      數列為等差數列，∴存在一個非零常數，使也為等差數列．   ………12分

20．（本題滿分12分）

證明（Ⅰ）法１：取中點，連接，

　　∵為中點，

平行且等于,

 又∵E為BC的中點，四邊形為正方形，

∴平行且等于,

∴四邊形為平行四邊形，          ………3分

∴，又平面，平面，

因此，平面．                ………5分

法２：取AD的中點M，連接EM和FM，

∵F、E為PD和BC中點，

∴,

∴平面，           ………3分

平面

因此，平面．              ………5分

解（Ⅱ）【理科】：連接，連接并延長，交延長線于一點，

連接，則為平面和平面的交線，

作，           ………7分

∵平面，∴，

又∵，

∴平面，

則．

在等腰直角中，，

平面，

∴平面平面．           ………10分

又平面平面．

∵平面

平面，∴為直線與平面所成的角．

設，則，，

在中，，

∴．

因此，直線與平面所成的角．….………………12分

   （Ⅱ）【文科】

    承接法2，，又，

∴，                         

∵平面，

∴平面平面.                ………7 分

∴平面

則為直線與平面所成的角.  ………9 分

在中，，

∴=.                   ………12分

21．（本小題滿分12分）

【理科】解：（I）設雙曲線C的焦點為

由已知，

，　　　　　　　　　……………2分

設雙曲線的漸近線方程為，

依題意，，解得．

∴雙曲線的兩條漸近線方程為．

故雙曲線的實半軸長與虛半軸長相等，設為，則，得，

∴雙曲線C的方程為 　　　　　　　　　　　　……………６分.

（II）由_，

直線與雙曲線左支交于兩點，

因此 ………………..９分

又中點為

∴直線的方程為， 

令x=0，得，

∵  ∴ 

∴故的取值范圍是．  ………………12分．

   【文科】解：（Ⅰ）由已知即得

于是……………..６分．

   （Ⅱ）

恒成立，

恒成立.      ……………….８分．

設,則

上是增函數，在上是減函數，

從而處取得極大值又所以的最大值是6，故.………………12分

22．（本小題滿分12分）

   【理科】解：（Ⅰ）令得 ……………2分

當為增函數；

當為減函數，

可知有極大值為…………………………..4分

（Ⅱ）欲使在上恒成立，只需在上恒成立，

設

由（Ⅰ）知，，

……………………８分

（Ⅲ），由上可知在上單調遞增，

  ①，

 同理  ②…………………………..10分

兩式相加得

    ……………………………………12分

【文科】見理科21題答案．

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