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已知某幾何體的直觀圖和三視圖如下圖所示, 其正視圖為矩形,側(cè)視圖為等腰直角三角形,俯視圖為直角梯形.
(Ⅰ)證明：BN⊥平面C₁B₁N；
(Ⅱ)設(shè)直線C₁N與平面CNB₁所成的角為，求sin的值；
(Ⅲ)M為AB中點，在CB上是否存在一點P，使得MP∥平面CNB₁，若存在，求出BP的長;若不存在，請說明理由.

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如圖已知：BA，BC，BB₁兩兩垂直，BCC₁B₁為矩形，ABB₁N為直角梯形，BC=BA=AN=4，BB₁=8．
（I）證明：BN⊥平面C₁B₁N；
（ll）求二面角C-NB₁-C₁的余弦值，
（III ）M為AB的中點，在線段CB上是否存在一點P，使得MP∥平面CNB₁，若存在，求出BP的長；若不存在，請說明理由．

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如圖已知：BA，BC，BB₁兩兩垂直，BCC₁B₁為矩形，ABB₁N為直角梯形，BC=BA=AN=4，BB₁=8．
（I）證明：BN⊥平面C₁B₁N；
（ll）求二面角C-NB₁-C₁的余弦值，
（III ）M為AB的中點，在線段CB上是否存在一點P，使得MP∥平面CNB₁，若存在，求出BP的長；若不存在，請說明理由．

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如圖已知：BA，BC，BB₁兩兩垂直，BCC₁B₁為矩形，ABB₁N為直角梯形，BC=BA=AN=4，BB₁=8．
（I）證明：BN⊥平面C₁B₁N；
（ll）求二面角C-NB₁-C₁的余弦值，
（III ）M為AB的中點，在線段CB上是否存在一點P，使得MP∥平面CNB₁，若存在，求出BP的長；若不存在，請說明理由．

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一、選擇題：本題考查基礎(chǔ)知識和基本運算. 每題5分，滿分50分.

       1. B  2.A  3.D  4.D  5.C  6.B  7.D  8.A  9.B  10.C

二、填空題：本題考查基礎(chǔ)知識和基本運算. 每題4分，滿分20分.

       11.  31     12.  15   13.  16     14.  4  

15.  16+17+18+19=12+13+14+15+16=7+8+9+10+11+12+13.

三、解答題：本大題共6小題，共80分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

16．本題主要考查頻率分布表、直方圖、眾數(shù)、分層抽樣、分布列、期望等統(tǒng)計概率知識，考查學生運用所學知識解決實際應用問題的能力。滿分13分.

解：（I）①處填20，②處填0.35；

眾數(shù)為172.5cm……………3分

補全頻率分布直方圖如圖所示。

…………6分

（Ⅱ）用分層抽樣的方法，從中選

取20人,則其中“身高低于170cm”

的有5人，“身高不低于170cm”

的有15人。      ……7分

故ξ的可能取值為0，1，2，3；

           …………………10分

所以ξ的分布列為

ξ

0

1

2

3

P

                                                                  …………11分

所以：                    …………13分

17. 本題主要考查三視圖,線面位置關(guān)系，二面角的求法等基本知識，考查空間想像能力，探索運算求解能力和推理論證能力. 滿分13分.

法一:(Ⅰ)證明∵該幾何體的正視圖為矩形,側(cè)視圖為等腰直角三角形,俯視圖為直角梯形,

∴BA,BC,BB₁兩兩垂直.

以BA,BC,BB₁分別為x,y,z軸建立空間直角坐標系,……1分

則N(4,4,0),B₁(0,8,0),C₁(0,8,4),C(0,0,4)

∵=(4,4,0)?(-4,4,0)=-16+16=0

=(4,4,0)?(0,0,4)=0              ……3分

∴BN⊥NB₁, BN⊥B₁C₁且NB₁與B₁C₁相交于B₁,

∴BN⊥平面C₁B₁N;                                                    ……4分

(Ⅱ)∵BN⊥平面C₁B₁N, 是平面C₁B₁N的一個法向量=(4,4,0),           ……5分

設(shè)=(x,y,z)為平面NCB₁的一個法向量,

則，取=(1,1,2),     …7分

則cosθ===;                                ……9分

(Ⅲ)∵M(2,0,0).設(shè)P(0,0,a)為BC上一點,則=(-2,0,a)，∵MP∥平面CNB₁,

∴⊥?=(-2,0,a) ?(1,1,2)=-2+2 a =0 a =1.                ……12分

又MP平面CNB₁, ∴MP∥平面CNB₁, ∴當BP=1時MP∥平面CNB₁.     ……13分

法二:(Ⅰ)證明:由已知得B₁C₁⊥平面BNB₁,∴B₁C₁⊥BN,

BN=4= B₁N,BB₁=8, ∴BB₁²= BN²+ B₁N², ∴BN⊥B₁N

又B₁C₁與B₁N交于B₁, ∴BN⊥平面C₁B₁N；

(Ⅱ)過N作NQB₁C₁,則BCQN,又BN⊥平面C₁B₁N,

∴CQ⊥平面C₁B₁N,則CQ⊥B₁N, QN⊥B₁N ,∴∠CNQ是二面角C-B₁N-Q的平面角θ,

在Rt△CNQ中,NQ=4,CQ=4, ∴CN=4,cosθ==;

(Ⅲ)延長BA、B₁N交于R,連結(jié)CR,∵MP∥平面CNB₁,

MP平面CBR, 平面CBR∩平面CRN于CR,

∴MP∥CR, △RB₁B中ANBB₁,∴A為RB中點,

∴==,∴BP=1,因此存在P點使MP∥平面CNB₁.         ……………13分

18.本題主要考查學生運用正弦和余弦定理解決與三角形有關(guān)的實際問題的能力，考查學生的運算能力以及化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學思想方法。滿分13分.

法一:1、在△ABC中,∵∠BAD=90°,∠ABD=45°,∴∠ADB=45°…2分

         ……………………4分

在中，

            ……………6分

在中，DC²=DB²+BC²-2DB?BCcos60°=(80)²+(40)²-2×80×40×

=9600                                                       ……………10分

                                             ………………11分

航模的速度（米/秒）                          ……………12分

答：航模的速度為2（米/秒）                              ……………13分

法二:（略解）、在中，中

在 中，DC²=AD²+AC²-2AD?ACcos60°=9600          ……………10分

                    ……………11分

航模的速度（米/秒）   ………12分

答：航模的速度為2（米/秒）   ……………13分

法三:（略解）、如圖建立直角坐標系，

則A(0，0)， B(80，0)， D(0，80）   …………2分

由，AC=40（1+）,∴C(60+20,20+20)         ……………7分

    ……………11分

航模的速度（米/秒）                          ……………12分

答：航模的速度為2（米/秒）                              ……………13分

19、本題主要考查直線、圓與橢圓的位置關(guān)系等基本知識，考查運算求解能力和探索求解、分析問題、解決問題的能力. 滿分13分

解： (Ⅰ) 設(shè)C（x, y）, ∵ , , ∴ ,

∴ 由定義知,動點C的軌跡是以A、B為焦點,長軸長為6的橢圓,除去與x軸的兩個交點.

設(shè)橢圓方程為

則a=3,c=2.∴b²=a²-c²=5.∴ 曲線M的方程為:  (y≠0).(缺y≠0的扣1分)……5分

(Ⅱ)法一: 即要使DE⊥DF, 用特值法k_DE=1,

由得14y²+30y=0,又y≠0, ∴y=-,代入DE得x=,

由對稱性知定點在x軸上, ∴最多只有定點Q……8分

設(shè)直線DE的方程為x=my+3,E(x₁,y₁),

由得(5m²+9)y²+30my=0, 又y≠0, ∴y₁=-

∴E(,-),                                     …………………10分

同理F(,)                                     …………………11分

k_QE-k_QF=-=-=0

得E、Q、F三點共線,得出定點坐標為．                     …………………13分

法二:當直線l的斜率存在時，設(shè)直線l的方程為yx=kx+m,E(x₁,y₁),F(x₁,y₁)，

由得，

由△=(18mk)²-36(5+9k²)(m²-5)>0, 得5+9k²- m²>0,

                        ………………………8分

又，

因為以EF為直徑的圓過點等價于，即

，，

.解得：，，且均滿足，

當m₁=-3k時，l的方程為y=k(x-3)，直線過點Q(3,0)，因為點Q不在曲線M上，此時l與曲線M沒有兩個公共點，不合題意；

當時，的方程為，直線過定點．      ……………11分

當直線l的斜率不存在時，直線與曲線M交于兩點，此時

，由，得，點在曲線M上，，所以，解得，即直線 滿足條件.

  ∴直線過定點，定點坐標為．             ……………………………13分

20. 本題主要考查函數(shù)、導數(shù)的基本知識及用導數(shù)處理函數(shù)性質(zhì)，遞推數(shù)列及不等式、數(shù)學歸納法等基礎(chǔ)知識，同時考查考生函數(shù)與方程思想、分類與整合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想等及推理論證能力、運算求解能力及創(chuàng)新意識．滿分14分.

解: (Ⅰ)f '(x)= -,又函數(shù)f(x)在x=1處有極值,∴f '(1)=0,a=1,經(jīng)檢驗符合題意 ……2分

g'(x)= -,

當x∈(0,1)時, g'(x)<0, g(x)為減函數(shù), 當x =1時,g'(x)=0, 當x∈(1,+∞)時g'(x)>0，g(x)為增函數(shù),∴g(x)在x =1時取得極小值g(1)=2+b,依題意g(1)≤0, ∴b≤-2,

∴b的最大值為-2;                     ………………………………………………4分

(Ⅱ)f '(x)= -,

當f (x)在(1，2)上單調(diào)遞增時, -≥0在[1，2]上恒成立, ∴a ≤x²,令h(x)= x²,

則h'(x)=