已知橢圓：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)．
（Ⅰ）若橢圓的一個焦點到長軸的兩個端點的距離分別為2+

3

和2-

3

，求橢圓的方程；
（Ⅱ）如圖，過坐標原點O任作兩條互相垂直的直線與橢圓分別交于P、Q和R、S四點．設原點O到四邊形PRQS某一邊的距離為d，試求：當d=1時

1

a2

+

1

b2

的值．

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已知橢圓：（）上任意一點到兩焦點距離之和為，離心率為，左、右焦點分別為，，點是右準線上任意一點，過作直 線的垂線交橢圓于點．

（1）求橢圓的標準方程；
（2）證明：直線與直線的斜率之積是定值；
（3）點的縱坐標為3，過作動直線與橢圓交于兩個不同點，在線段上取點，滿足，試證明點恒在一定直線上．

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說明：

      一、本解答指出了每題要考查的主要知識和能力，并給出了一種或幾種解法供參考，如果考生的解法與本解答不同，可根據試題的主要考查內容比照評分標準制定相應的評分細則.

    二、對計算題，當考生的解答在某一步出現錯誤時，如果后繼部分的解答未改變該題的內容和難度，可視影響的程度決定后繼部分的給分，但不得超過該部分正確解答應給分數的一半；如果后繼部分的解答有較嚴重的錯誤，就不再給分.

    三、解答右端所注分數，表示考生正確做到這一步應得的累加分數.

    四、只給整數分數，選擇題和填空題不給中間分.

一、選擇題：本題考查基礎知識和基本運算，每小題5分，滿分60分.

1. A   2. D   3. C   4. C   5. B   6. D   7. B   8. A   9. C   10. D   11. B   12. C

二、填空題：本題考查基礎知識和基本運算，每小題4分，滿分16分.

13.         14.                 15.                 16.   

三、解答題：本大題共6小題，共74分，解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟.

17. 本題主要考查三角函數的基本公式，考查運算能力. 滿分12分.

解：（Ⅰ）在中，因為，

所以.   ……………………………（3分）

所以

.  …………………………（6分）

（Ⅱ）根據正弦定理得：，

所以. ……………………………（9分）

所以

. ………………………………………………………（12分）

18．本題主要考查直線與平面的位置關系，考查空間想像能力，推理論證能力和運算求解能

力. 滿分12分.

解：（Ⅰ）因為平面ABCD⊥平面ABE，且ABCD是正方形，所以BC⊥平面ABE，

因為G是等邊三角形ABE的邊AE的中點，所以BG⊥AE，……………（2分）

所以

　　　　　．…………………………………………（4分）

（Ⅱ）取DE中點M，連結MG、FM，

因為MG  AD，BF  AD，所以MG　BF，

四邊形FBGM是平行四邊形，所以BG//FM.（6分）

又因為FM平面EFD，BG平面EFD，

所以BG//平面EFD.         ………………（8分）

（Ⅲ）因為DA⊥平面ABE，BG平面ABE，所以DA⊥BG. …………………（9分）

　　　又BG⊥AE，ADAE＝A，

　　　所以BG⊥平面DAE，又AP平面DAE，………………………………（11分）

　　　所以BG⊥AP.    ……………………………………………………………（12分）

19. 本題主要考查等差數列、等比數列的基本知識，考查運算求解能力及推理能力. 滿分12分.

解：（Ⅰ）設該等差數列的公差為，依題意得：  ………（2分）

解得：  ………………………………………………………（4分）

所以數列的通項公式為.   ………………………………（6分）

（Ⅱ）依題意得：………………（9分）

.  ………（12分）

20. 本題主要考查概率、統計的基本知識，考查應用意識. 滿分12分.

解：（Ⅰ）設每個報名者能被聘用的概率為P，依題意有：

.

答：每個報名者能被聘用的概率為0.02.  ………………………………………（4分）

（Ⅱ）設24名筆試者中有x名可以進入面試，依樣本估計總體可得：

　　  ，解得：，從表中可知面試的切線分數大約為80分.

答：可以預測面試的切線分數大約為80分.  ……………………………………（8分）

（Ⅲ）從聘用的四男、二女中選派兩人的基本事件有：（a,b）,( a,c) , (a, d) ,( a, e) ,

(a, f) ,( b, c) ,（b,d）,( b, e) ,( b, f) ,(c, d) ,（c, e）,( c, f) ,( d, e) ,( d, f) ,（e, f）,共15種.

選派一男一女參加某項培訓的種數有:

     (a,e) ,( a, f) , (b,e) ,(b, f),（c,e）,(c, f) ,(d,e) ,(d, f)，共8種

所以選派結果為一男一女的概率為.

答：選派結果為一男一女的概率為.       …………………………………（12分）

21．本題主要考查圓、直線與橢圓的位置關系等基本知識，考查運算求解能力和分析問題、

解決問題的能力. 滿分12分

解：（Ⅰ）由已知得，,所以

又，所以，橢圓C的方程為   ………（3分）

因為，所以，可求得或，…（5分）

所以的外接圓D的方程是或．

………………………………………………………………（7分）(少一解扣1分)

（Ⅱ）當直線的斜率不存在時，由（Ⅰ）得，，

可得，所以．…………………………………（8分）

當直線的斜率存在時，設其斜率為，顯然，

則直線的方程為，設點，

將代入方程，并化簡得：

    ……………………………………（9分）

可得：，，     ……………………（10分）

所以

．

綜上，．  ………………………………………………………（12分）

22．本題主要考查函數的單調性、極值、最值、不等式、方程的解等基本知識，考查運用導

數研究函數性質的方法，考查分類與整合及化歸與轉化等數學思想. 滿分14分.

解：（Ⅰ）依題意，知的定義域為.    …………………………………（1分）

當時，，

.    ………………………………（2分）

令，解得.

當時，，此時單調遞增；

當時，，此時單調遞減. ……………………………（3分）

所以的極大值為，此即為最大值 . ……………………（4分）

（Ⅱ），

所以，在上恒成立，………………（6分）

所以 ，…………………………………（7分）

當時，取得最大值．所以． ………………（9分）

（Ⅲ）因為方程有唯一實數解，所以有唯一實數解．設，則.

令，得．

因為，

所以（舍去），， ………（10分）

當時，，在單調遞減，

當時，，在單調遞增．

當時，，取最小值.  ……………………（11分）

因為有唯一解，所以．

則，即

所以，

因為，所以． …………………………（12分）

設函數，

因為當時，是增函數，所以至多有一解．  ………（13分）

因為，所以方程的解為，即，

解得                ……………………………………………（14分）