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已知函數(shù)f(x)=，數(shù)列{a_n}滿足a₁=1，a_n+1=f(a_n)(n∈N^*)．

(1)求證：數(shù)列{}是等差數(shù)列；

(2)記S_n(x)=,求S_n(x)．

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已知函數(shù)f(x)=2+.數(shù)列{a_n}中，a₁=a,a_n+1=f(a_n)(n∈N^*).當(dāng)a取不同的值時(shí)，得到不同的數(shù)列{a_n}，如當(dāng)a=1時(shí)，得到無窮數(shù)列1,3,,,…;當(dāng)a=-時(shí)，得到有窮數(shù)列-,

(Ⅰ)求a的值，使得a₃=0;

(Ⅱ)設(shè)數(shù)列{b_n}滿足b₁=-,b_n=f(b_n+1)(n∈N^*),求證：不論a取{b_n}中的任何數(shù)，都可以得到一個(gè)有窮數(shù)列{a_n}.

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第Ⅰ卷

一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分.

題號

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

答案

C

文A

理D

A

D

C

D

A

文C

理B

A

B

D

文C

理C

第II卷

二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.

14.(理)3  （文）    14.2         15.       16. ③④

三、解答題：本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟.

17．本小題滿分10分

解：(Ⅰ)∵m⊥n，

       ∴m?n=(,cosA+1)?(sinA,－1)=sinA－(cosA+1)=0，

       ∴sinA－cosA=1，………………………………………………………………2分

       ∴sin(A－)=．…………………………………………………………………3分

       ∵0<A<p，∴，∴，………………………………5分

       ∴A=．……………………………………………………………………………6分

       (Ⅱ)在△ABC中，A=，a=2，cosB=，

       ∴sinB=．……………………………………………7分

       由正弦定理知：，…………………………………………………8分

       ∴b=，∴b=．……………………………………10分

18．(本小題滿分12分)

解：（1）由甲射手命中目標(biāo)的概率與距離的平方成反比，可設(shè)，

∵，∴，   ………………………………………    2分

∴，. ………………………………………………   4分

∴，.……………………………  6分

（2）（理）的所有可能取值為0，1，2，3.

, ……………………………   7分

，  …………………………………  8分

，  ……………………………………………   9分

.   ……………………………………………………………  10分

∴. …………………… 12分

（文）記“射手甲在該射擊比賽中能得分”為事件A，則

，……………………  9分

∴. ………………………… 12分

19．(本小題滿分12分)

解：(Ⅰ)證明：連接AC₁，設(shè)AC₁∩A₁C=E，連接DE．………………1分

∵A₁B₁C₁―ABC是直三棱柱，且AC=AA₁=，

∴AA₁C₁C是正方形，E是AC₁中點(diǎn)，

又D為AB中點(diǎn)，∴ED∥BC₁．……………………………………3分

又EDÌ平面A₁CD，BC₁Ë平面A₁CD，

∴BC₁∥平面A₁CD．…………………………………………………4分

(Ⅱ)解法一：設(shè)H是AC中點(diǎn)，F(xiàn)是EC中點(diǎn)，連接DH，HF，F(xiàn)D．……5分

∵D為AB中點(diǎn)， ∴DH∥BC，同理可證HF∥AE，又AC⊥CB，故DH⊥AC．

又側(cè)棱AA₁⊥平面ABC，

∴AA₁⊥DH，      ∴DH⊥平面AA₁C₁C．…………………7分

由(Ⅰ)得AA₁C₁C是正方形，則A₁C⊥AE，∴A₁C⊥HF．

∵HF是DF在平面AA₁C₁C上的射影，∴DF⊥A₁C．

∴∠DFH是二面角A―A₁C―D的平面角．…8分

又DH=，HF=．…10分

∴在直角三角形DFH中，tan∠DFH=．…11分

∴二面角A―A₁C―D的大小為arctan．……………………12分

解法二：在直三棱柱A₁B₁C₁―ABC中，∵AC⊥CB，∴分別以CA，CB，CC₁所在的直線為x軸，y軸，z軸建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系C?xyz．因?yàn)锽C=1，AA₁=AC=，則

C(0,0,0)，A(,0,0)，B(0,1,0)，D，…………5分

設(shè)平面A₁DC的法向量為n=(x,y,z)，則

       ，       …………………………6分

∵=，=(,0,)，

∴ ，則．…7分

取x=1，得平面A₁DC的一個(gè)法向量為n=(1,－,－1)，…………9分

m==(0,1,0)為平面CAA₁C₁的一個(gè)法向量．………………………10分

cos<m?n>=．………………………………11分

由圖可知，二面角A―A₁C―D的大小為arccos．………………12分

20．(本小題滿分12分)

解：(Ⅰ)∵a_n+1= f()=．…………………………3分

∴{a_n}是以為公差的等差數(shù)列．

又a₁=1，∴a_n=．  ………………………………………(理)5分(文)6分

(Ⅱ) (理)當(dāng)n≥2時(shí)，，

又b₁==，

∴S_n=b₁+b₂+???+b_n=．…8分

∵S_n<，對nÎN^*成立．

∵關(guān)于n遞增，且當(dāng)n®+∞時(shí)，及，

∴，m≥2009．∴最小正整數(shù)m=2009．………………………12分

（文）T_n=a₂(a₁－a₃)+a₄(a₃－a₅)+???+a_2n(a_2n-1－a_2n+1)

=－(a₂+a₄+???+a_2n) ………………………………………………8分

=．…………………………………12分

21．(本小題滿分12分)

解：(Ⅰ)由得(a²+b²)x²－2a²x+a²－a²b²=0，…………………2分

設(shè)A(x₁，y₁)、B(x₂，y₂)，AB中點(diǎn)為M(x₀，y₀)．

∴x₁+x₂=，x₀=，y₀=－x₀+1=，……………………4分

∴M(，)，代入x－2y=0

得a²=2b²，∴，……………………………………………………5分

∴e=．………………………………………………………6分

(Ⅱ)由(Ⅰ)知橢圓方程可化為， ……………………………7分

所以右焦點(diǎn)F₂(b，0)關(guān)于直線l：x－2y=0的對稱點(diǎn)F₂′(b，b)，……9分

將其代入x²+y²=4，得(b)²+(b)²=4，∴b²=4．…………………………10分

所以橢圓的方程為．…………………………………………12分

22．(本小題滿分12分)

解：(理)(Ⅰ) f′(x)=－，∵x≥1，∴l(xiāng)nx≥0，∴f′(x)≤0，故f(x)在[1,+∞)遞減．……4分

(Ⅱ) f(x)≥Û≥k，記g(x)=，

       則g′(x)=．…………………………5分

       再令h(x)=x－lnx，則h′(x)=1－．

       ∵x≥1，∴h′(x)≥0，∴h(x)在[1,+∞)上遞增………………………………………6分

       ∴[h(x)]_min=h(1)=1>0，從而g′(x)>0，故g(x)在[1,+∞)上也單調(diào)遞增． ………7分

       ∴[g(x)]_min=g(1)=2，∴k≤2．………………………………………………………8分

       (Ⅲ)證法1：用數(shù)學(xué)歸納法，略

       證法2：由(Ⅱ)知：f(x)≥恒成立，即．

       令x=n(n+1)，則，………………………………9分

∴，，，…，

，……………………………………………………10分

將以上不等式相加得：

．……………………………………12分

(文)解：(Ⅰ )由f(x)=x³+ax²+bx+c，求導(dǎo)數(shù)得f′(x)=3x²+2ax+b．…………1分

過y=f(x)上的點(diǎn)P(1，f(1))的切線方程為：y－f(1)=f′(1)(x－1)，

即y－(a+b+c+1)=(3+2a+b)(x－1)．…………………………………………3分

而過y=f(x)上的點(diǎn)P(1，f(1)) 的切線方程為y=3x+1，

故即…………………………………………4分

∵f(x)在x=－2處有極值，故f′(－2)=0，∴－4a+b=－12，③……………5分

由①②③得a=2，b=－4，c=5．

∴f(x)=x³+2x²－4x+5．…………………………………………………………6分

(Ⅱ )解法一：y=f(x)在[－2,1]上單調(diào)遞增，又f′(x)=3x²+2ax+b，由①知2a+b=0．

依題意f′(x)在[－2,1]上恒有f′(x)≥0，即3x²－bx+b≥0．……………………8分

①當(dāng)x=≥1時(shí)，f′(x)_min=f′(1)=3－b+b>0，∴b≥6；………………………9分

②當(dāng)x=≤－2時(shí)，f′(x)_min=f′(－2)=12+2b+b≥0，∴bÎÆ；………………10分

③當(dāng)－2≤≤1時(shí)，f′(x)_min=≥0，則0≤b≤6．………………………11分

綜上所述，參數(shù)b的取值范圍是[0,+∞)．……………………………………12分

解法二：同)解法一，可得3x²-bx+b≥0．………………………………………8分

即b(x－1)≤3x²．

當(dāng)x=1時(shí)，不等式顯然成立．

當(dāng)x≠1時(shí)，x－1<0，∴b≥．……………………………………………10分

∵=3(x－1)++6≤－6+6=0，

∴b≥0．…………………………………………………………………………12分

數(shù)學(xué)既重基礎(chǔ)又突出考查主線

西北師大附中高級教師 李樹林

　　  試卷點(diǎn)評:本試卷題型配置合理，考查知識點(diǎn)覆蓋全面,試題嚴(yán)謹(jǐn)準(zhǔn)確，無科學(xué)性知識性錯(cuò)誤。思維量、計(jì)算量適中。更值得一提的是試卷平和溫馨，無偏題怪題，既重基礎(chǔ)又突出考查主線，學(xué)生倍感親切。這既對后期復(fù)習(xí)具有良好的導(dǎo)向作用，尤其是對穩(wěn)定學(xué)生情緒，鼓舞士氣發(fā)揮重要作用。總之，本試卷與近年高考題相比更接近。如果多出現(xiàn)一些創(chuàng)新題將更能體現(xiàn)課改精神。另外，應(yīng)加大壓軸題的分量，特別是21題分量明顯不足。

　　  復(fù)習(xí)建議:合理定位，“量身”制定復(fù)習(xí)方案。后期復(fù)習(xí)對自己恰當(dāng)定位很重要。奪三甲、進(jìn)前十、奔名校、夠重點(diǎn)、上普本，一定要有自己的具體目標(biāo)要求。你在什么層面，就要進(jìn)行相對應(yīng)的復(fù)習(xí)。既敢追求又能舍棄。基礎(chǔ)未過關(guān)的，寧可再打基礎(chǔ)也要舍棄綜合性的問題，想拔高的就要對一些“尖端”問題猛攻。

　　  力所能及地做好專題復(fù)習(xí)。首先做好6個(gè)方向的專題復(fù)習(xí)：向量與三角問題專題、向量與立體幾何問題專題、概率與統(tǒng)計(jì)問題專題、函數(shù)與不等式問題專題、數(shù)列與不等式問題專題、解析幾何問題專題。建議自己進(jìn)行專題組卷，比如三角題，將近年三角考題精選十余道組成試卷進(jìn)行專題練習(xí)。其次做好思想方法專題復(fù)習(xí)。另外，有些典型問題也可以專題題組的方式復(fù)習(xí)。如分段函數(shù)，選擇相關(guān)題目組成專題卷，內(nèi)容包括單調(diào)性、奇偶性、值域、反函數(shù)等等，這樣做復(fù)習(xí)效果倍增。

　　  做好臨場訓(xùn)練：關(guān)注應(yīng)試技法，如客觀題用畫圖、檢驗(yàn)等特殊方法，特別是選擇題要用好選擇這一“拐杖”；重視解題程序的訓(xùn)練：如用向量法解立體幾何題的步驟、用直譯法求軌跡方程的步驟、直線與圓錐曲線問題的求解步驟、解概率題的步驟、畫數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖的步驟、用數(shù)學(xué)歸納法證明問題的步驟、求線性規(guī)劃問題的步驟等等；做好答卷規(guī)范性的訓(xùn)練:特別是今年實(shí)行網(wǎng)上閱卷對答題規(guī)范性要求更高，必須及早訓(xùn)練否則一定影響考試效果。