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在平面直角坐標系xOy中，將從點M出發沿縱、橫方向到達點N的任一路徑稱為M到N的一條“L路徑”．如圖所示的路徑MM₁M₂M₃N與路徑MN₁N都是M到N的“L路徑”．某地有三個新建居民區，分別位于平面xOy內三點A（3，20），B（-10，0），C（14，0）處．現計劃在x軸上方區域（包含x軸）內的某一點P處修建一個文化中心．
（I）寫出點P到居民區A的“L路徑”長度最小值的表達式（不要求證明）；
（II）若以原點O為圓心，半徑為1的圓的內部是保護區，“L路徑”不能進入保護區，請確定點P的位置，使其到三個居民區的“L路徑”長度之和最小．

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一、選擇題：本小題共8小題，每小題5分，共40分.

題號

1

2

3

4

5

6

7

8

答案

_A

B

D

B

D

B

B

C

二、填空題：本小題9―12題必答，13、14、15小題中選答2題，若全答只計前兩題得分，共30分.

9．, f(x)＜m；  10．90 ； 11．3 ；12． _；

13．垂直； 14． ； 15． _。

解答提示：

2．解：設等軸雙曲線為x²－y²=a²（a>0），

∵焦點到漸近線距離為，∴a=。

3．解：∵_，    ∴

∴_，∴_，∴．

4．解：只有命題②正確。

5．解：有２男２女和三男一女兩種情況，

＝2400種．

6．解：，∴r=3，9時，該項為有理項

，∴ 。

7．解：由正弦定理得，

由余弦定理有。

8．解： 可行域:的面積為4，圓x²+y²=1的面積為,

    由幾何概型計算公式得：P=。

10．平均每月注射了疫苗的雞的數量為萬只。

11．解：，=3。

12．解：∵_，

      ∴_，

      又_，

      ∴，夾角等于。

13．解：垂直。兩直線分別過點和，前兩點和后兩點連線顯然垂直。

法二：兩直線化為普通方程是

其斜率乘積，故兩直線垂直。

14．解：,應有

15．解：由圓的相交弦定理知，

∴，

由圓的切割線定理知，

∴。

三、解答題：

16．解：（1） ，        ……………3分

f(x)  。                 　　　　………6分

（2）由（1）知 ，   　　　 …… 9分

的圖像向右平移個單位，得到的圖像，

其圖像關于原點對稱，                           　　　…………… 11分

故m=  。                                        　……………12分

17．解：（1），

    又，  ………………………………………………2分

    又的等比中項為2，，

    而，  ………………………………4分

      ， ……………………………6分

   （2），    ，

   為首項，－1為公差的等差數列。 ………………………9分

    ，

    ；當；當，

    最大。 …………………………12分

18．解：（1）這位挑戰者有兩種情況能過關：

①第三個對，前兩個一對一錯，得20+10+0=30分，       ……… ………1分

②三個題目均答對，得10+10+20=40分，                ……… ………2分

其概率分別為，            ……… ………3分

            ，                ……… ………4分

這位挑戰者過關的概率為

。        ……… ………5分

(2)如果三個題目均答錯，得0+0+（-10）=-10分，

如果前兩個中一對一錯，第三個錯，得10+0+（-10）=0分；  …… ………6分

 前兩個錯，第三個對，得0+0+20=20分；

如果前兩個對，第三個錯，得10+10+（-10）=10分；      ……… ………7分

故的可能取值為：-10，0，10，20，30，40.                 ………….8分

 ，    ……… ………9分

                            ………………10分

                             ……… ………11分

                             ……… ………12分

又由（1），，

∴的概率分布為

-10

0

10

20

30

40

                                                    ………………13分

根據的概率分布，可得的期望，

                                                         ………14分

19．解：（1），∴,     ∴2a²=3b²      ……….2分

      ∵直線l:與圓x²+y²=b²相切，

∴=b，∴b=，b²=2，                                                             …….3分  

∴a²=3.  ∴橢圓C₁的方程是          ………….  4分

（2）∵|MP|＝|MF₂|，

∴動點M到定直線l₁：x＝－1的距離等于它的定點F₂（1，0）的距離. …5分

∴動點M的軌跡是以l₁為準線，F₂為焦點的拋物線，                                                 ………….6分

∴ ，p=2 ，                                    ………….7分

 ∴點M的軌跡C₂的方程為_。                  .………….8分           

（3）由（1）知A（1，2），，y₂≠2，①

       則，              ………….10分

    又因為      , ，

       整理得，       　　　　　　   ………….12分

則此方程有解，

       ∴解得或，      ………….13分

       又檢驗條件①：∵y₂=2時y₀=-6,不符合題意。

       ∴點C的縱坐標y₀的取值范圍是       ………….14分

20．解法一：（向量法）：

過點作

∵⊥平面

∴⊥平面

又在中，

∴

如圖，以為原點，建立空間直角坐標系．       ………….1分

又在中，，

∴

又在中，

∴

則                        ………….3分

（1）證明：∵

         ∴

         ∴

         ∴

 又

∴⊥平面                               ………….6分

又在中，、分別是、上的動點，

且

∴不論為何值，都有

∴⊥平面

又平面

不論為何值，總有平面⊥平面           ………….8分

（2）∵，∴,

∵，∴，

又∵， ，     

設是平面的法向量，則         .………….10分

又，,∵=(0,1,0),

∴

令得

∴，                            ………….12分

    ∵ 是平面的法向量，平面與平面所成的二面角為_，

∴

∴_，

∴或（不合題意，舍去），

         故當平面與平面所成的二面角的大小為時．…….14分

（2）解法二：∵，∴ ,

設E（a,b,c）,則，

∴a=1+,b=0,c=， E（1+,0, ）,

∴)。                       

其余同解法一

（2）解法三：設是平面的法向量，則，

        ∵ 

        ∴

        ∴

又在中，，

∴

又在中，

∴

∴

    又，且

∴

∴

∴

又

∴

∴        _{……………10分}

∴

令得

∴                               …………12分

其余同解法一

解法四：（傳統法）：

（1）證明：∵⊥平面

∴                                    ………….1分

又在中，

∴                                    ………….2分

又

∴⊥平面                               ………….3分

又在中，、分別是、上的動點，

且

∴                                      ………….4分

∴⊥平面                                ………….5分

又平面

∴不論為何值，總有平面⊥平面．        ………….6分

（2）解：作BQ∥CD，則BQ⊥平面，

∴BQ⊥BC，BQ⊥BE，

又BQ與CD、EF共面，∴平面與∩平面_＝BQ，

∴∠CBE平面與平面所成的二面角的平面角，為，∴

∴①      ………….9分

   又

   ∴