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（12分）在“自選專題”考試中，某考場的每位同學都從《不等式選講》和《極坐標系與參數方程》兩專題中只選了一道數學題，第一小組選《不等式選講》的有1人，選《極坐標系與參數方程》的有5人，第二小組選《不等式選講》的有2人，選《極坐標系與參數方程》的有4人，現從第一、第二兩小組各任選2人分析得分情況。

（I）求選出的4人均為選《極坐標系與參數方程》的概率；

（Ⅱ）設為選出的4個人中選《不等式選講》的人數，求的分布列和數學期望。

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一、選擇題：（本大題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）

1．B  2．A  3．B  4．B  5．C  6．B  7．D  8．C  9．D  10．A  11．C  12．A

二、填空題（本大題共4小題，每小題4分，共16分）

13．   14．18    15．、、   16．

三、解答題（本大題共6小題，共74分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。）

17．解：(Ⅰ)

=

函數的周期，

由題意可知即，

解得，即的取值范圍是

(Ⅱ)由(Ⅰ)可知

而

由余弦定理知

　又，

18．（I）證明：連結交于，連結

    底面是正方形，點是的中點，

    在中，是中位線，，

    而平面且平面，所以，平面

（Ⅱ）證明：底面且底面，

，可知是等腰直角三角形，而是斜邊的中線。

   ①

同樣由底面得

底面是正方形，有平面。

而平面 ②

由①和②推得平面

而平面

又且，所以平面

（Ⅲ）解：由（Ⅱ）知，，故是二面角的平面角

由（2）知，

設正方形的邊長為，則

在中，

在中，

所以，二面角的大小為

方法二；如圖所示建立空間直角坐標系，D為坐標原點，設

（I）證明：連結AC，AC交BD于G，連結EG。

依題意得A（,0,0）,P(0,0, ),

底面是正方形，是此正方形的中心，故點的坐標為）

且，這表明

而平面且平面平面

（Ⅱ）證明：依題意得，

又，故

由已知，且，所以平面

（Ⅲ）解：設點的坐標為，則則

從而所以

由條件知，，即

，解得

點的坐標為，且

即，故二面角的平面角。

，且

所以，二面角的大小為（或用法向量求）

19．解：（I）設“從第一小組選出的2人均考《極坐標系與參數方程》”為事件A，“從第二小組選出的2人均考《極坐標系與參數方程》”為事件B，由于事件A、B相互獨立，

且

所以選出的4人均考《極坐標系與參數方程》的概率為

（Ⅱ）設可能的取值為0，1，2，3，得

的分布列為

0

1

2

3

的數學期望

20．解：由題意

（I）當時。

由得，解得，函數的單調增區間是；

由得，解得，函數的單調減區間是

當時，函數有極小值為

（2） 當時，由于，均有，

即恒成立，

，

由（I）知函數極小值即為最小值，

，解得

21．解（I）方程有且只有一個根，或

又由題意知舍去

當時，

當時，也適合此等式

（Ⅱ）

①

②

由①-②得

（Ⅲ）法一：當2時，

時，數列單調遞增，

又由（II）知

法二：當時，

22．（I）⊙M過點三點，圓心既在的垂直平分線上，也在的垂直平分線上，的垂直平分線方程為

的中點為

的垂直平分線方程為

由④⑤得即

在直線上。

由得

橢圓的方程為

（Ⅱ）設則

是定值；