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如圖，在四棱錐中，⊥底面，底面為正方形，，，分別是，的中點(diǎn)．

（I）求證：平面；

（II）求證：；

（III）設(shè)PD=AD=a, 求三棱錐B-EFC的體積.

【解析】第一問利用線面平行的判定定理，，得到

第二問中，利用，所以

又因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012061921145879762728/SYS201206192116075476939219_ST.files/image018.png">，，從而得

第三問中，借助于等體積法來求解三棱錐B-EFC的體積.

（Ⅰ）證明： 分別是的中點(diǎn)，    

，．       …4分

（Ⅱ）證明：四邊形為正方形，．

， ．

， ，

．，．    ………8分

（Ⅲ）解：連接AC,DB相交于O,連接OF, 則OF⊥面ABCD,

∴

已知四棱錐P-ABCD的底面ABCD是邊長為2的正方形，PD⊥底面ABCD，E，F(xiàn)分別為棱BC、AD的中點(diǎn).

（1）求證：DE∥平面PFB；

（2）已知二面角P-BF-C的余弦值為，求四棱錐P-ABCD的體積.

【解析】(1)證：DE//BF即可；

（2）可以利用向量法根據(jù)二面角P-BF-C的余弦值為,確定高PD的值，即可求出四棱錐的體積.也可利用傳統(tǒng)方法直接作出二面角的平面角，求高PD的值也可.在找平面角時(shí)，要考慮運(yùn)用三垂線或逆定理.

如圖，四棱柱中，平面，底面是邊長為的正方形，側(cè)棱．

　（１）求三棱錐的體積；

�。ǎ玻┣笾本�與平面所成角的正弦值；

　（３）若棱上存在一點(diǎn)，使得，當(dāng)二面角的大小為時(shí)，求實(shí)數(shù)的值．

【解析】（1）在中，

.                 （3’）

（2）以點(diǎn)D為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則

       （4’）

,設(shè)平面的法向量為，

由得，                                             （5’）

則，

.  （7’）

（3）

設(shè)平面的法向量為，由得，      （10’）