已知函數其中a>0.

（I）求函數f(x)的單調區間；

（II）若函數f（x）在區間（-2，0）內恰有兩個零點，求a的取值范圍；

（III）當a=1時，設函數f（x）在區間[t,t+3]上的最大值為M（t），最小值為m（t）,記g(t)=M(t)-m(t),求函數g(t)在區間[-3，-1]上的最小值。

【考點定位】本小題主要考查導數的運算，利用導數研究函數的單調性、函數的零點，函數的最值等基礎知識.考查函數思想、分類討論思想.考查綜合分析和解決問題的能力.

已知函數f（x）=2x³-3ax²+a+b（其中a，b為實常數）．
（I）討論函數的單調區間；
（II） 當a＞0時，函數f（x）有三個不同的零點，證明：-a＜b＜a³-a；
（III） 若f（x）在區間[1，2]上是減函數，設關于X的方程f（x）=2x³-2ax²+3x+a+b的兩個非零實數根為x₁，x₂．試問是否存在實數m，使得m²+tm+1≤|x₁-x₂|對任意滿足條件的a及t∈[-1，1]恒成立？若存在，求m的取值范圍；若不存在，請說明理由．

已知函數，且對任意，有.

（1）求；

（2）已知在區間（0，1）上為單調函數，求實數的取值范圍.

（3）討論函數的零點個數？(提示：)