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如圖，以長方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的一個頂點D為原點，DA，DC，DD₁所在直線分別為x軸、y軸、z軸，建立空間直角坐標系．已知點B₁的坐標是（2，1，1）．
（1）證明向量

AD1

，

A1C1

，

BA1

是共面向量；
（2）求異面直線AC₁與A₁D所成角的余弦值；
（3）求二面角C-AC₁-D的平面角的余弦值．

如圖所示，PD垂直于正方形ABCD所在平面，AB=2，E為PB的中點，cos＜

DP

，

AE

＞=

3

3

，若以DA，DC，DP所在直線分別為x，y，z軸建立空間直角坐標系，則點E的坐標為．

在矩形ABCD中，|AB|=2

3

，|AD|=2，E、F、G、H分別為矩形四條邊的中點，以HF、GE所在直線分別為x，y軸建立直角坐標系（如圖所示）．若R、R′分別在線段0F、CF上，且

|OR|

|OF|

=

|CR′|

|CF|

=

1

n

．
（Ⅰ）求證：直線ER與GR′的交點P在橢圓Ω：

x2

3

+y²=1上；
（Ⅱ）若M、N為橢圓Ω上的兩點，且直線GM與直線GN的斜率之積為

2

3

，求證：直線MN過定點；并求△GMN面積的最大值．

（2013•黃岡模擬）在矩形ABCD中，|AB|=2

3

，|AD|=2，E、F、G、H分別為矩形四條邊的中點，以HF、GE所在直線分別為x，y軸建立直角坐標系（如圖所示）．若R、R′分別在線段0F、CF上，且

|OR|

|OF|

=

|CR′|

|OF|

=

1

n

．
（Ⅰ）求證：直線ER與GR′的交點P在橢圓Ω：

x2

3

+y²=1上；
（Ⅱ）若M、N為橢圓Ω上的兩點，且直線GM與直線GN的斜率之積為

2

3

，求證：直線MN過定點．