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棱P-ABCD的底面是正方形PD⊥ABCD，點E在棱PB上．
（Ⅰ）求證：平面AEC⊥平面PDB；
（Ⅱ）當，且E為PB的中點時，求①AE與平面PDB所成的角的大小；②求異面直線AE和CD所成角的大小．

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棱P-ABCD的底面是正方形PD⊥ABCD，點E在棱PB上．
（Ⅰ）求證：平面AEC⊥平面PDB；
（Ⅱ）當PD=

2

，AB=1，且E為PB的中點時，求①AE與平面PDB所成的角的大小；②求異面直線AE和CD所成角的大小．

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一、填空題（本大題滿分60分，共12小題，每小題滿分5分）

1．    2．第四象限    3． 。   4．  0

5．     6． 必要不充分     7． 2      8．     9． 1

10． 6    11．①⑤    12． 2 

二、選擇題（本大題滿分16分，共4小題，每小題滿分4分）

13．B   14．D   15．C   16．D

三、解答題（本大題滿分74，共5小題）

17．解：（1）取BC的中點F，連接EF、AF，則EF//PB，

    所以∠AEF就是異面直線AE和PB所成角或其補角；

                                   ……………3分

    ∵∠BAC=60°，PA=AB=AC=2，PA⊥平面ABC，

所以異面直線AE和PB所成角的大小為   ………………8分

   （2）因為E是PC中點，所以E到平面ABC的距離為  …………10分

       …………12分

18．（本題滿分14分）

    解：由行列式得：  …………3分

    由正、余弦定理得：  …………6分

        ………………9分

    又    ………………12分

      ……………………14分

19．（本題滿分14分）

    解：設二次函數

    ，

    二次函數

    又∵m、n為正整數，  …………14分

20．（本題滿分16分，第1小題滿分6分，第2小題滿分10分）

    解：（1）；  ………………2分

    ；   ………………4分

       ………………6分

   （2）當由的小等邊三角形，

    共有個。

     …………10分

      …………12分

   （3）都是等比數列，且是單調遞增的數列；

    極限不存在；極限存在，   ………………14分

    雪花曲線的特性是周長無限增大而面積有限的圖形。  ………………16分

   （第3小題酌情給分）

21．（本題20分，第1小題滿分4分，第2小題滿分6分，第3小題6分，第4小題4分）

    解：（1）； ………………2分

    聯立方程； …………3分

    與橢圓M相交。 …………4分

   （2）聯立方程組

    消去

   （3）設F₁、F₂是橢圓的兩個焦點，點F₁、F₂到直線

    的距離分別為d₁、d₂，且F₁、F₂在直線L的同側。那么直線L與橢圓相交的充要條件為：；直線L與橢圓M相切的充要條件為：；直線L與橢圓M相離的充要條件為：　……14分

    證明：由（2）得，直線L與橢圓M相交

    命題得證。

   （寫出其他的充要條件僅得2分，未指出“F₁、F₂在直線L的同側”得3分）

   （4）可以類比到雙曲線：設F₁、F₂是雙曲線的兩個焦點，點F₁、F₂到直線距離分別為d₁、d₂，且F₁、F₂在直線L的同側。那么直線L與雙曲線相交的充要條件為：；直線L與雙曲線M相切的充要條件為：；直線L與雙曲線M相離的充要條件為：

………………20分

   （寫出其他的充要條件僅得2分，未指出“F₁、F₂在直線L的同側”得3分）

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