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圖中的曲線叫雪花曲線(Koch　Snowflake)，它的生成方法是：

(1)將正三角形圖(1)的每邊三等分，并以中間的那一條線段為一底邊向形外作等邊三角形，然后去掉底邊，得到圖(2)；

(2)將圖(2)的每邊三等分，重復上述的作圖方法，得到圖(3)；

(3)再按上述方法繼續做下去，就可以得到圖(4)所示的曲線．

將圖(1)、(2)、(3)…中的圖形依次記作M₁、M₂、M₃、…．

思考1：請分別說出M₁、M₂、M₃的邊數，想一想、如何得到M₄的邊數？

思考2：如果知道了M_n－1的邊數，我們能否知道M_n的邊數？

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冬天，潔白的雪花飄落時十分漂亮．為研究雪花的形狀，1904年，瑞典數學家科克（Koch Heige Von）把雪花理想化，得到了雪花曲線，也叫科克曲線．它的形成過程如下：
（i）將正三角形（圖①）的每邊三等分，并以中間的那一條線段為一底邊向形外作等邊三角形，然后去掉底邊，得到圖②；
（ii）將圖②的每邊三等分，重復上述作圖方法，得到圖③；
（iii）再按上述方法無限多次繼續作下去，所得到的曲線就是雪花曲線．
將圖①、圖②、圖③…中的圖形依次記作M₁、M₂、…、M_n…設M₁的邊長為1．
求：（1）M_n的邊數a_n；
    （2）M_n的邊長L_n；
    （3）M_n的面積S_n的極限．

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冬天，潔白的雪花飄落時十分漂亮．為研究雪花的形狀，1904年，瑞典數學家科克（Koch Heige Von）把雪花理想化，得到了雪花曲線，也叫科克曲線．它的形成過程如下：
（i）將正三角形（圖①）的每邊三等分，并以中間的那一條線段為一底邊向形外作等邊三角形，然后去掉底邊，得到圖②；
（ii）將圖②的每邊三等分，重復上述作圖方法，得到圖③；
（iii）再按上述方法無限多次繼續作下去，所得到的曲線就是雪花曲線．
將圖①、圖②、圖③…中的圖形依次記作M₁、M₂、…、M_n…設M₁的邊長為1．
求：（1）M_n的邊數a_n；
    （2）M_n的邊長L_n；
    （3）M_n的面積S_n的極限．

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冬天，潔白的雪花飄落時十分漂亮．為研究雪花的形狀，1904年，瑞典數學家科克（Koch Heige Von）把雪花理想化，得到了雪花曲線，也叫科克曲線．它的形成過程如下：
（i）將正三角形（圖①）的每邊三等分，并以中間的那一條線段為一底邊向形外作等邊三角形，然后去掉底邊，得到圖②；
（ii）將圖②的每邊三等分，重復上述作圖方法，得到圖③；
（iii）再按上述方法無限多次繼續作下去，所得到的曲線就是雪花曲線．
將圖①、圖②、圖③…中的圖形依次記作M₁、M₂、…、M_n…設M₁的邊長為1．
求：（1）M_n的邊數a_n；
    （2）M_n的邊長L_n；
    （3）M_n的面積S_n的極限．

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一、填空題（本大題滿分60分，共12小題，每小題滿分5分）

1．    2．第四象限    3． 。   4．  0

5．     6． 必要不充分     7． 2      8．     9． 1

10． 6    11．①⑤    12． 2 

二、選擇題（本大題滿分16分，共4小題，每小題滿分4分）

13．B   14．D   15．C   16．D

三、解答題（本大題滿分74，共5小題）

17．解：（1）取BC的中點F，連接EF、AF，則EF//PB，

    所以∠AEF就是異面直線AE和PB所成角或其補角；

                                   ……………3分

    ∵∠BAC=60°，PA=AB=AC=2，PA⊥平面ABC，

所以異面直線AE和PB所成角的大小為   ………………8分

   （2）因為E是PC中點，所以E到平面ABC的距離為  …………10分

       …………12分

18．（本題滿分14分）

    解：由行列式得：  …………3分

    由正、余弦定理得：  …………6分

        ………………9分

    又    ………………12分

      ……………………14分

19．（本題滿分14分）

    解：設二次函數

    ，

    二次函數

    又∵m、n為正整數，  …………14分

20．（本題滿分16分，第1小題滿分6分，第2小題滿分10分）

    解：（1）；  ………………2分

    ；   ………………4分

       ………………6分

   （2）當由的小等邊三角形，

    共有個。

     …………10分

      …………12分

   （3）都是等比數列，且是單調遞增的數列；

    極限不存在；極限存在，   ………………14分

    雪花曲線的特性是周長無限增大而面積有限的圖形。  ………………16分

   （第3小題酌情給分）

21．（本題20分，第1小題滿分4分，第2小題滿分6分，第3小題6分，第4小題4分）

    解：（1）； ………………2分

    聯立方程； …………3分

    與橢圓M相交。 …………4分

   （2）聯立方程組

    消去

   （3）設F₁、F₂是橢圓的兩個焦點，點F₁、F₂到直線

    的距離分別為d₁、d₂，且F₁、F₂在直線L的同側。那么直線L與橢圓相交的充要條件為：；直線L與橢圓M相切的充要條件為：；直線L與橢圓M相離的充要條件為：　……14分

    證明：由（2）得，直線L與橢圓M相交

    命題得證。

   （寫出其他的充要條件僅得2分，未指出“F₁、F₂在直線L的同側”得3分）

   （4）可以類比到雙曲線：設F₁、F₂是雙曲線的兩個焦點，點F₁、F₂到直線距離分別為d₁、d₂，且F₁、F₂在直線L的同側。那么直線L與雙曲線相交的充要條件為：；直線L與雙曲線M相切的充要條件為：；直線L與雙曲線M相離的充要條件為：

………………20分

   （寫出其他的充要條件僅得2分，未指出“F₁、F₂在直線L的同側”得3分）

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