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圖中的曲線叫雪花曲線(Koch　Snowflake)，它的生成方法是：

(1)將正三角形圖(1)的每邊三等分，并以中間的那一條線段為一底邊向形外作等邊三角形，然后去掉底邊，得到圖(2)；

(2)將圖(2)的每邊三等分，重復上述的作圖方法，得到圖(3)；

(3)再按上述方法繼續做下去，就可以得到圖(4)所示的曲線．

將圖(1)、(2)、(3)…中的圖形依次記作M₁、M₂、M₃、…．

思考1：請分別說出M₁、M₂、M₃的邊數，想一想、如何得到M₄的邊數？

思考2：如果知道了M_n－1的邊數，我們能否知道M_n的邊數？

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冬天，潔白的雪花飄落時十分漂亮．為研究雪花的形狀，1904年，瑞典數學家科克（Koch Heige Von）把雪花理想化，得到了雪花曲線，也叫科克曲線．它的形成過程如下：
（i）將正三角形（圖①）的每邊三等分，并以中間的那一條線段為一底邊向形外作等邊三角形，然后去掉底邊，得到圖②；
（ii）將圖②的每邊三等分，重復上述作圖方法，得到圖③；
（iii）再按上述方法無限多次繼續作下去，所得到的曲線就是雪花曲線．
將圖①、圖②、圖③…中的圖形依次記作M₁、M₂、…、M_n…設M₁的邊長為1．
求：（1）M_n的邊數a_n；
    （2）M_n的邊長L_n；
    （3）M_n的面積S_n的極限．

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冬天，潔白的雪花飄落時十分漂亮．為研究雪花的形狀，1904年，瑞典數學家科克（Koch Heige Von）把雪花理想化，得到了雪花曲線，也叫科克曲線．它的形成過程如下：
（i）將正三角形（圖①）的每邊三等分，并以中間的那一條線段為一底邊向形外作等邊三角形，然后去掉底邊，得到圖②；
（ii）將圖②的每邊三等分，重復上述作圖方法，得到圖③；
（iii）再按上述方法無限多次繼續作下去，所得到的曲線就是雪花曲線．
將圖①、圖②、圖③…中的圖形依次記作M₁、M₂、…、M_n…設M₁的邊長為1．
求：（1）M_n的邊數a_n；
    （2）M_n的邊長L_n；
    （3）M_n的面積S_n的極限．

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冬天，潔白的雪花飄落時十分漂亮．為研究雪花的形狀，1904年，瑞典數學家科克（Koch Heige Von）把雪花理想化，得到了雪花曲線，也叫科克曲線．它的形成過程如下：
（i）將正三角形（圖①）的每邊三等分，并以中間的那一條線段為一底邊向形外作等邊三角形，然后去掉底邊，得到圖②；
（ii）將圖②的每邊三等分，重復上述作圖方法，得到圖③；
（iii）再按上述方法無限多次繼續作下去，所得到的曲線就是雪花曲線．
將圖①、圖②、圖③…中的圖形依次記作M₁、M₂、…、M_n…設M₁的邊長為1．
求：（1）M_n的邊數a_n；
    （2）M_n的邊長L_n；
    （3）M_n的面積S_n的極限．

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一、填空題（本大題滿分60分，共12小題，每小題滿分5分）

1．      2．    3．第四象限    

4．      5．      6．   4    7．     8．   ―2     

9． ―2或8   10．必要非充分   11． ①③④       12．    2   

二、選擇題（本大題滿分16分，共4小題，每小題滿分4分）

13．C   14．D   15．B   16．B

三、解答題（本大題滿分74，共5小題）

17．解：設正四棱柱的底邊長為a

    則

        …………4分

18．（本題滿分14分）

    解：由行列式得：  …………3分

    由正、余弦定理得：  …………6分

        ………………9分

    又    ………………12分

      ……………………14分

19．（本題滿分14分）

    解：設二次函數

    ，

    二次函數

    又∵m、n為正整數，  …………14分

20．（本題滿分16分，第1小題滿分6分，第2小題滿分10分）

    解：（1）

    由定義得：當m=2時，M的軌跡是一條射線，方程為：

        ………………2分

    當時，M的軌跡是一支雙曲線，方程為：

      ………………6分

   （2）∵直線l與M點軌跡交于B、C兩點，∴M的軌跡方程為：

  （*） …………9分

    將m=3代入（*）式，兩根異號，不符合兩根均大于2

    ∴不存在m滿足條件。  ………………16分

21．（本題滿分16分，第1小題滿分6分，第2小題滿分10分）

    解：（1）由題知：

    所以   ………………4分

   （2）由題知：每個圖形的邊長都相等，且長度變為原來的的遞推公式為

   （3）當由的小等邊三角形，

    共有個。

     …………12分

      …………16分

       ………………18分

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