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已知定點A（1，0），定直線l：x=5，動點M（x，y）
（1）若M到點A的距離與M到直線l的距離之比為，試求M的軌跡曲線C₁的方程；
（2）若曲線C₂是以C₁的焦點為頂點，且以C₁的頂點為焦點，試求曲線C₂的方程；
（3）是否存在過點F（，0）的直線m，使其與曲線C₂交得弦|PQ|長度為8呢？
若存在，則求出直線m的方程；若不存在，試說明理由．

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若曲線C上的點到直線的距離比它到點F的距離大1，
（1）求曲線C的方程。
（2）過點F（1，0）作傾斜角為的直線交曲線C于A、B兩點，求AB的長
（3）過點F（1，0）作斜率為k 的直線交曲線C于M、N 兩點，求證：
 為定值

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一．選擇題

序號

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

答案

B

A

B

D

D

C

A

A

C

B

D

A

二填空題

13. 2或8；        14． ；            15．；           16..

三．解答題

17．解：（Ⅰ）

………………………………………………………………4分

…………………………6分

（Ⅱ） …………………………………………………8分

∴ …………………………………………………………………………10分

………………………………………………………………………………12分

18．解：（Ⅰ）在Rt△ABC中，AB＝1，∠BAC＝60°，∴BC＝，AC＝2．

在Rt△ACD中，AC＝2，∠CAD＝60°，∴CD＝2，AD＝4． ……………………………2分

∴＝

．………………………………………………………………4分

則V＝．     ……………………………………………………………… 6分

（Ⅱ）∵PA＝CA，F為PC的中點，∴AF⊥PC．            ……………………………………8分

∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥CD．

∵AC⊥CD，PA∩AC＝A，∴CD⊥平面PAC．∴CD⊥PC．

∵E為PD中點，F為PC中點，∴EF∥CD．則EF⊥PC．     ………………………………10分

∵AF∩EF＝F，∴PC⊥平面AEF．………………………………………………………………12分

19．設第一個匣子里的三把鑰匙為A，B，C，第二個匣子里的三把鑰匙為a,b,c(設A,a能打開所有門，B只能打開第一道門，b只能打開第二道門，C,c不能打開任何一道門)

（Ⅰ）第一道門打不開的概率為；……………………………………………………………5分

（Ⅱ）能進入第二道門的情況有Aa,Ab,Ac,Ba,Bb,而二把鑰匙的不同情況有Aa,Ab,Ac,Ba,Bb,Bc,Ca,Cb,Cc共9種，故能進入第二道門的概率為……………………………………………………………12分

20.（Ⅰ）依題

即（ …………………………………………………3分

故為等差數列，a₁=1，d=2

………………………………………………………………………………………………5分

（Ⅱ）設公比為q，則由b₁b₂b₃=8，b_n>0…………………………………………………6分

又成等差數列

………………………………………………………………………………………8分

或…………………………………………………………………………………10分

或……………………………………………………………………12分

21解：（Ⅰ）依題PN為AM的中垂線

…………………………………………………2分

又C（-1，0），A（1，0）

所以N的軌跡E為橢圓，C、A為其焦點…………………………………………………………4分

a=，c=1，所以為所求………………………………………………………5分

（Ⅱ）設直線的方程為：y=k（x-1），代入橢圓E的方程：x²+2y²=2得：

（1+2k²）x²-4k²x+2k²-2=0………………（1）

設G（x₁，y₁）、H（x₂，y₂），則x₁，x₂是（1）的兩個根.

…………………………………………………………7分

依題

………………………………………………………9分

解得：………………………………………………………………………12分

22.解法（一）：

   時， 即……①

⑴時,恒成立，

⑵時，①式化為……②

⑶時，①式化為……③…………………………………………………5分

記，則…………………………7分

所以

故由②，由③………………………………………………………………………13分

綜上時，在恒成立.………………………………………………14分

解法（二）：

   時， 即……①

⑴時,，，不合題意…………………………………………………2分

⑵恒成立

∴在上為減函數，

得，矛盾，…………………………………………………………………………………5分

⑶，=

   若則，，故在［－1,1］內，

，得，矛盾.

若

依題意，  解得 即

綜上為所求.……………………………………………………………………………14分