題目列表(包括答案和解析)
|
|
|
|
在直角坐標系中，已知點A（1，2）和B（3，－1）在一個二階矩陣M的作用下，變換所得到的點分別是
（4，5）和
（5，1）. 求矩陣M.
在直角坐標系中，已知點A（1，2）和B（3，－1）在一個二階矩陣M的作用下，變換所得到的點分別是
（4，5）和
（5，1）. 求矩陣M.
說明：
一、本解答指出了每題要考察的主要知識和能力，并給出了一種或幾種解法供參考，如
果考生的解法與本解法不同，可根據試題的主要考察內容比照評分標準指定相應的評分細
則。
二、對計算題，當考生的解答在某一部分解答未改變該題的內容和難度，可視影響的程
度決定后繼部分的給分，但不得超過該部分正確解答應給分數的一半；如果后繼部分的解答
有較嚴重的錯誤，就不再給分。
三、解答右端所注分數，表示考生正確做到這一步應得的累加分數。
四、只給整數分數，選擇題和填空題不給中間分。
一、選擇題：本涂考察基礎知識和基本運算，每小題5分，滿分50分。
1．A 2．A 3．B 4．C 5．B 6．B 7．C 8．D 9．C 10．D
二、填空題：本題考察基礎知識和基本運算，每小題4分，滿分20分。
11．
12．60 13．-540 14．
15．820
三、解答題：本大題共6小題，滿分80分，解答須寫出文字說明、證明過程和演算步驟。
16．本小題主要考察概率統計的基礎知識，運用數學知識解決問題的能力，以及推理與運算
能力。滿分13分。
（I）
、
同奇的取法有
種，同偶的取法有?????????????????????????????????????? 2分
???????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 5分
（Ⅱ）
，
??????????????????????? 10分
其分布列為
1
2
3
4
5
????????????????????????????????????? 13分
17．本小題主要考察直線與平面的位置關系，二面角的大小，體積的計算等知識，考察空間
想象能力、邏輯思維能力和運算能力，滿分13分。
（I）連結BD，由已知得BD=2，
在正三角形BCD中，BE=EC，
，又
，
…………………………2分
又
平面
，
，…………………………3分
，
平面PAD。……………………4分
（Ⅱ）
，
且
，?????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 5分
??????????????????????????????????? 8分
（Ⅲ）證法一：如圖建立空間直角坐標系
，
則由（I）知平面
的一個法向量為
，
設平面PBC的法向量為
，
由
取
得
???????????????????????????????????????????????????????????????????? 11分
?????????????????????????????????????????????????? 12分
平面PAD與平面PBC所成的銳二面角大小的余弦值為
??????????????????????? 13分
證法二：由（I）知
平面
平面
，
平面
平面???????????????????????????????????????????????????????????????????? 9分
又
平面
又
平面
平面
平面???????????????????????????????????????????????????????????????????? 10分
就是平面與平面所成二面角的平面角???????????????????????????? 11分
在
中，
?????????????????????????????????????????????????????????????????? 13分
18．本小題主要考察兩角和差公式，二倍角公式，同角三角函數關系，解斜三角形的基本知
識以及推理能力、運算能力和應用能力，滿分13分。
解：在
中，
????????????????????????????????????????????????????????????????? 2分
化簡得：
???????????????????????????????????????????????????????????? 4分
所以
????????????????????????? 6分
???????????????????? 8分
即
???????????????????????????????????????????????????????? 10分
所以當
即
時，
=
???????????????????????????????????? 12分
答：當
時，所建造的三角形露天活動室的面積最大。?????????????????????????? 13分
19．本題主要考查直線、橢圓、向量等基礎知識，考查曲線方程的求法以及研究曲線的定性
定量的基本方法，考查運算能力、探究能力和綜合解題能力，滿分13分。
解：（I）設橢圓E的方程為
由已知得：
???????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 2分
橢圓E的方程為
??????????????????????????????????????????????????????????????? 3分
（Ⅱ）法一：假設存在符合條件的點
，又設
，則：
????????????????????????????????????????????????? 5分
①當直線
的斜率存在時，設直線的方程為：
，則
由
得
???????????????????????????????????????????????????????? 7分
所以
????????????????????????????????????????????? 9分
對于任意的
值，
為定值，
所以
，得
，
所以
；??????????????????????????????????????????????????????????? 11分
②當直線的斜率不存在時，直線
由得
綜上述①②知，符合條件的點
存在，起坐標為
。????????????????????????????? 13分
法二：假設存在符合條件的點，又設
則：
=
????????????????????????????????????????????????? 5分
①當直線的斜率不為0時，設直線的方程為
，
由
得
?????????????????????????????????????????????????????????? 7分
????????????????????????????????????????????????? 9分
設
則
?????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 11分
②當直線的斜率為0時，直線
，由
得：
綜上述①②知，符合條件的點存在，其坐標為???????????????????????????????? 13分
20．本題考查函數、導數、數列的基本知識及其應用等知識，考查化歸的數學思想方法以及
推理和運算能力�？疾檫\用數學知識分析和解決問題的能力，滿分14分。
解：（I）
?????????????????????????????????????????? 2分
由已知得：
????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 4分
（Ⅱ）方法一：由（I）得
在
上為單調增函數，則
恒成立，
即
對
恒成立。
即
對恒成立，????????????????????????????????????????????????????????? 7分
令
，
??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 9
方法二：同方法一。
令
當
時
，
在單調遞增，
??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 9分
（Ⅲ）方法一：
?????????????????????????????????????????????????????? 10分
當
時，
，
當
時，
，??????????????????????????????????????????????? 12分
…
根據題意可知
??????????????????????????????????????? 14分
方法二：同方法一，
???????????????????????????????????????? 10分
當時，
當時，
???????????????????????????????????????????????????? 12分
…
根據題意可知??????????????????????????????????????? 14分
方法三：設
是數列
中的最大項，則
??????????????????????????? 12分
為最大項，
所以?????????????????????????????????????????????????? 14分
以下同上
21．本題考查，本題滿分14分
（I）本題主要考查矩陣與變換、曲線在矩陣變換下的曲線的方程，考查運算求解能力及化
歸與轉化思想，滿分7分。
解：
????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 2分
，即
???????????????????????????????????????????????????????? 4分
????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 5分
曲線
的方程為
??????????????????????????????????????????????????????????? 7分
（Ⅱ）本題主要考查直線和圓的極坐標方程，考查運算求解能力及化歸與轉化思想，滿分7
分。
解：
即
???????????????????????????????????????????????????????????????????? 3分
圓心的坐標為
??????????????????????????????????????????????????????????????????????? 4分
，即
???????????????????????????????????????????????????????????????? 5分
圓心到直線的距離為1?????????????????????????????????????????????????????????????????????? 7分
（Ⅲ）本題主要考查利用常見不等式求條件最值，考查化歸與轉化思想，滿分7分
解：
????????????????????????????????????????? 3分
?????????????????????????????????????????????????????????????????? 5分
當且僅當
即
時取到“=”號，
當時
的最小值為
??????????????????????????????? 7分
湖北省互聯網違法和不良信息舉報平臺 | 網上有害信息舉報專區 | 電信詐騙舉報專區 | 涉歷史虛無主義有害信息舉報專區 | 涉企侵權舉報專區
違法和不良信息舉報電話：027-86699610 舉報郵箱：58377363@163.com