題目列表(包括答案和解析)
定義：由橢圓的兩個焦點和短軸的一個頂點組成的三角形稱為該橢圓的“特征三角形”．如果兩個橢圓的“特征三角形”是相似的，則稱這兩個橢圓是“相似橢圓”，并將三角形的相似比稱為橢圓的相似比．已知橢圓C1：| x2 |
| 4 |
| x2 |
| 16 |
| y2 |
| 4 |
| x2 |
| a2 |
| y2 |
| b2 |
| x2 |
| a2 |
| y2 |
| b2 |
定義：由橢圓的兩個焦點和短軸的一個頂點組成的三角形稱為該橢圓的“特征三角形”．如果兩個橢圓的“特征三角形”是相似的，則稱這兩個橢圓是“相似橢圓”，并將三角形的相似比稱為橢圓的相似比．已知橢圓
．
，判斷C2與C1是否相似？如果相似，求出C2與C1的相似比；如果不相似，請說明理由；
和
分別交于點A，B和點C，D，試在橢圓M和橢圓Mλ上分別作出點E和點F（非橢圓頂點），使△CDF和△ABE組成以λ為相似比的兩個相似三角形，寫出具體作法．（不必證明）
．
，判斷C2與C1是否相似？如果相似，求出C2與C1的相似比；如果不相似，請說明理由；
和
分別交于點A，B和點C，D，試在橢圓M和橢圓Mλ上分別作出點E和點F（非橢圓頂點），使△CDF和△ABE組成以λ為相似比的兩個相似三角形，寫出具體作法．（不必證明）
．
，判斷C2與C1是否相似？如果相似，求出C2與C1的相似比；如果不相似，請說明理由；
和
分別交于點A，B和點C，D，試在橢圓M和橢圓Mλ上分別作出點E和點F（非橢圓頂點），使△CDF和△ABE組成以λ為相似比的兩個相似三角形，寫出具體作法．（不必證明）
．
，判斷C2與C1是否相似？如果相似，求出C2與C1的相似比；如果不相似，請說明理由；
和
分別交于點A，B和點C，D，試在橢圓M和橢圓Mλ上分別作出點E和點F（非橢圓頂點），使△CDF和△ABE組成以λ為相似比的兩個相似三角形，寫出具體作法．（不必證明）
說明：
一、本解答指出了每題要考察的主要知識和能力，并給出了一種或幾種解法供參考，如
果考生的解法與本解法不同，可根據試題的主要考察內容比照評分標準指定相應的評分細
則。
二、對計算題，當考生的解答在某一部分解答未改變該題的內容和難度，可視影響的程
度決定后繼部分的給分，但不得超過該部分正確解答應給分數的一半；如果后繼部分的解答
有較嚴重的錯誤，就不再給分。
三、解答右端所注分數，表示考生正確做到這一步應得的累加分數。
四、只給整數分數，選擇題和填空題不給中間分。
一、選擇題：本涂考察基礎知識和基本運算，每小題5分，滿分50分。
1．A 2．A 3．B 4．C 5．B 6．B 7．C 8．D 9．C 10．D
二、填空題：本題考察基礎知識和基本運算，每小題4分，滿分20分。
11．
12．60 13．-540 14．
15．820
三、解答題：本大題共6小題，滿分80分，解答須寫出文字說明、證明過程和演算步驟。
16．本小題主要考察概率統計的基礎知識，運用數學知識解決問題的能力，以及推理與運算
能力。滿分13分。
（I）
、
同奇的取法有
種，同偶的取法有?????????????????????????????????????? 2分
???????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 5分
（Ⅱ）
，
??????????????????????? 10分
其分布列為
1
2
3
4
5
????????????????????????????????????? 13分
17．本小題主要考察直線與平面的位置關系，二面角的大小，體積的計算等知識，考察空間
想象能力、邏輯思維能力和運算能力，滿分13分。
（I）連結BD，由已知得BD=2，
在正三角形BCD中，BE=EC，
，又
，
…………………………2分
又
平面
，
，…………………………3分
，
平面PAD。……………………4分
（Ⅱ）
，
且
，?????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 5分
??????????????????????????????????? 8分
（Ⅲ）證法一：如圖建立空間直角坐標系
，
則由（I）知平面
的一個法向量為
，
設平面PBC的法向量為
，
由
取
得
???????????????????????????????????????????????????????????????????? 11分
?????????????????????????????????????????????????? 12分
平面PAD與平面PBC所成的銳二面角大小的余弦值為
??????????????????????? 13分
證法二：由（I）知
平面
平面
，
平面
平面???????????????????????????????????????????????????????????????????? 9分
又
平面
又
平面
平面
平面???????????????????????????????????????????????????????????????????? 10分
就是平面與平面所成二面角的平面角???????????????????????????? 11分
在
中，
?????????????????????????????????????????????????????????????????? 13分
18．本小題主要考察兩角和差公式，二倍角公式，同角三角函數關系，解斜三角形的基本知
識以及推理能力、運算能力和應用能力，滿分13分。
解：在
中，
????????????????????????????????????????????????????????????????? 2分
化簡得：
???????????????????????????????????????????????????????????? 4分
所以
????????????????????????? 6分
???????????????????? 8分
即
???????????????????????????????????????????????????????? 10分
所以當
即
時，
=
???????????????????????????????????? 12分
答：當
時，所建造的三角形露天活動室的面積最大。?????????????????????????? 13分
19．本題主要考查直線、橢圓、向量等基礎知識，考查曲線方程的求法以及研究曲線的定性
定量的基本方法，考查運算能力、探究能力和綜合解題能力，滿分13分。
解：（I）設橢圓E的方程為
由已知得：
???????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 2分
橢圓E的方程為
??????????????????????????????????????????????????????????????? 3分
（Ⅱ）法一：假設存在符合條件的點
，又設
，則：
????????????????????????????????????????????????? 5分
①當直線
的斜率存在時，設直線的方程為：
，則
由
得
???????????????????????????????????????????????????????? 7分
所以
????????????????????????????????????????????? 9分
對于任意的
值，
為定值，
所以
，得
，
所以
；??????????????????????????????????????????????????????????? 11分
②當直線的斜率不存在時，直線
由得
綜上述①②知，符合條件的點
存在，起坐標為
。????????????????????????????? 13分
法二：假設存在符合條件的點，又設
則：
=
????????????????????????????????????????????????? 5分
①當直線的斜率不為0時，設直線的方程為
，
由
得
?????????????????????????????????????????????????????????? 7分
????????????????????????????????????????????????? 9分
設
則
?????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 11分
②當直線的斜率為0時，直線
，由
得：
綜上述①②知，符合條件的點存在，其坐標為???????????????????????????????? 13分
20．本題考查函數、導數、數列的基本知識及其應用等知識，考查化歸的數學思想方法以及
推理和運算能力。考查運用數學知識分析和解決問題的能力，滿分14分。
解：（I）
?????????????????????????????????????????? 2分
由已知得：
????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 4分
（Ⅱ）方法一：由（I）得
在
上為單調增函數，則
恒成立，
即
對
恒成立。
即
對恒成立，????????????????????????????????????????????????????????? 7分
令
，
??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 9
方法二：同方法一。
令
當
時
，
在單調遞增，
??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 9分
（Ⅲ）方法一：
?????????????????????????????????????????????????????? 10分
當
時，
，
當
時，
，??????????????????????????????????????????????? 12分
…
根據題意可知
??????????????????????????????????????? 14分
方法二：同方法一，
???????????????????????????????????????? 10分
當時，
當時，
???????????????????????????????????????????????????? 12分
…
根據題意可知??????????????????????????????????????? 14分
方法三：設
是數列
中的最大項，則
??????????????????????????? 12分
為最大項，
所以?????????????????????????????????????????????????? 14分
以下同上
21．本題考查，本題滿分14分
（I）本題主要考查矩陣與變換、曲線在矩陣變換下的曲線的方程，考查運算求解能力及化
歸與轉化思想，滿分7分。
解：
????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 2分
，即
???????????????????????????????????????????????????????? 4分
????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 5分
曲線
的方程為
??????????????????????????????????????????????????????????? 7分
（Ⅱ）本題主要考查直線和圓的極坐標方程，考查運算求解能力及化歸與轉化思想，滿分7
分。
解：
即
???????????????????????????????????????????????????????????????????? 3分
圓心的坐標為
??????????????????????????????????????????????????????????????????????? 4分
，即
???????????????????????????????????????????????????????????????? 5分
圓心到直線的距離為1?????????????????????????????????????????????????????????????????????? 7分
（Ⅲ）本題主要考查利用常見不等式求條件最值，考查化歸與轉化思想，滿分7分
解：
????????????????????????????????????????? 3分
?????????????????????????????????????????????????????????????????? 5分
當且僅當
即
時取到“=”號，
當時
的最小值為
??????????????????????????????? 7分
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