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已知四棱錐P-ABCD（如圖），底面是邊長為2的正方形，側棱PA⊥底面ABCD，M、N分別為AD、BC的中點，MQ⊥PD于Q．
（1）求證：平面PMN⊥平面PAD；
（2）PA=2，求PM與平面PCD所成角的正弦值；
（3）求二面角P-MN-Q的余弦值．

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已知四棱錐P-ABCD的直觀圖（如圖1）及左視圖（如圖2），底面ABCD是邊長為2的正方形，平面PAB⊥平面ABCD，PA=PB．
（Ⅰ）求證：AD⊥PB；
（Ⅱ）求異面直線PD與AB所成角的余弦值；
（Ⅲ）求平面PAB與平面PCD所成銳二面角的大小．

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已知四棱錐P-ABCD的底面ABCD是邊長為1的正方形，PD⊥底面ABCD，PD=AD．
（1）求證：BC∥平面PAD；
（2）若E、F分別為PB、AD的中點，求證：EF⊥BC；
（3）求二面角C-PA-D的余弦值．

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已知四棱錐P-ABCD，底面是邊長為1的正方形，側棱PA⊥底面ABCD且PA=1，M、N分別為AD、BC的中點，MQ⊥PD于Q．
（I）求證：AB∥平面MNQ；
（Ⅱ）求證：平面PMN⊥平面PAD；
（Ⅲ）求二面角P-MN-Q的余弦值．

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說明：

    一、本解答指出了每題要考察的主要知識和能力，并給出了一種或幾種解法供參考，如

果考生的解法與本解法不同，可根據試題的主要考察內容比照評分標準指定相應的評分細

則。

    二、對計算題，當考生的解答在某一部分解答未改變該題的內容和難度，可視影響的程

度決定后繼部分的給分，但不得超過該部分正確解答應給分數的一半；如果后繼部分的解答

有較嚴重的錯誤，就不再給分。

    三、解答右端所注分數，表示考生正確做到這一步應得的累加分數。

    四、只給整數分數，選擇題和填空題不給中間分。

一、選擇題：本涂考察基礎知識和基本運算，每小題5分，滿分50分。

1．A   2．A   3．B   4．C   5．B   6．B   7．C   8．D   9．C   10．D

二、填空題：本題考察基礎知識和基本運算，每小題4分，滿分20分。

11．     12．60      13．-540    14．    15．820

三、解答題：本大題共6小題，滿分80分，解答須寫出文字說明、證明過程和演算步驟。

16．本小題主要考察概率統計的基礎知識，運用數學知識解決問題的能力，以及推理與運算

能力。滿分13分。

（I）、同奇的取法有種，同偶的取法有?????????????????????????????????????? 2分

???????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 5分

（Ⅱ），

??????????????????????? 10分

其分布列為

1

2

3

4

5

????????????????????????????????????? 13分

17．本小題主要考察直線與平面的位置關系，二面角的大小，體積的計算等知識，考察空間

想象能力、邏輯思維能力和運算能力，滿分13分。

（I）連結BD，由已知得BD=2，

在正三角形BCD中，BE=EC，

，又，

…………………………2分

又平面，

，…………………………3分

，

平面PAD。……………………4分

（Ⅱ），

且，?????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 5分

??????????????????????????????????? 8分

（Ⅲ）證法一：如圖建立空間直角坐標系，

則由（I）知平面的一個法向量為

，

設平面PBC的法向量為，

由

取得???????????????????????????????????????????????????????????????????? 11分

?????????????????????????????????????????????????? 12分

平面PAD與平面PBC所成的銳二面角大小的余弦值為??????????????????????? 13分

證法二：由（I）知平面平面，

平面平面???????????????????????????????????????????????????????????????????? 9分

又

平面又平面

平面平面???????????????????????????????????????????????????????????????????? 10分

就是平面與平面所成二面角的平面角???????????????????????????? 11分

在中，

?????????????????????????????????????????????????????????????????? 13分

18．本小題主要考察兩角和差公式，二倍角公式，同角三角函數關系，解斜三角形的基本知

識以及推理能力、運算能力和應用能力，滿分13分。

解：在中，

????????????????????????????????????????????????????????????????? 2分

化簡得：

        ???????????????????????????????????????????????????????????? 4分

所以

????????????????????????? 6分

???????????????????? 8分

即???????????????????????????????????????????????????????? 10分

所以當即時，=???????????????????????????????????? 12分

答：當時，所建造的三角形露天活動室的面積最大。?????????????????????????? 13分

19．本題主要考查直線、橢圓、向量等基礎知識，考查曲線方程的求法以及研究曲線的定性

定量的基本方法，考查運算能力、探究能力和綜合解題能力，滿分13分。

解：（I）設橢圓E的方程為

由已知得：

???????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 2分

橢圓E的方程為??????????????????????????????????????????????????????????????? 3分

（Ⅱ）法一：假設存在符合條件的點，又設，則：

????????????????????????????????????????????????? 5分

①當直線的斜率存在時，設直線的方程為：，則

由

得

???????????????????????????????????????????????????????? 7分

所以

            ????????????????????????????????????????????? 9分

對于任意的值，為定值，

所以，得，

所以；??????????????????????????????????????????????????????????? 11分

②當直線的斜率不存在時，直線

由得

綜上述①②知，符合條件的點存在，起坐標為。????????????????????????????? 13分

法二：假設存在符合條件的點，又設則：

         =????????????????????????????????????????????????? 5分

①當直線的斜率不為0時，設直線的方程為，

由

得

?????????????????????????????????????????????????????????? 7分

           ????????????????????????????????????????????????? 9分

設則

?????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 11分

②當直線的斜率為0時，直線，由得：

綜上述①②知，符合條件的點存在，其坐標為???????????????????????????????? 13分

20．本題考查函數、導數、數列的基本知識及其應用等知識，考查化歸的數學思想方法以及

推理和運算能力。考查運用數學知識分析和解決問題的能力，滿分14分。

解：（I）

             ?????????????????????????????????????????? 2分

由已知得：

????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 4分

（Ⅱ）方法一：由（I）得

在上為單調增函數，則恒成立，

即對恒成立。

即對恒成立，????????????????????????????????????????????????????????? 7分

令，

??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 9

方法二：同方法一。

令

當時，在單調遞增，

??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 9分

（Ⅲ）方法一：

          ?????????????????????????????????????????????????????? 10分

當時，，

當時，，??????????????????????????????????????????????? 12分

…

根據題意可知??????????????????????????????????????? 14分

方法二：同方法一，

???????????????????????????????????????? 10分

當時，

當時，???????????????????????????????????????????????????? 12分

…

根據題意可知??????????????????????????????????????? 14分

方法三：設是數列中的最大項，則

??????????????????????????? 12分

為最大項，

所以?????????????????????????????????????????????????? 14分

以下同上

21．本題考查，本題滿分14分

（I）本題主要考查矩陣與變換、曲線在矩陣變換下的曲線的方程，考查運算求解能力及化

歸與轉化思想，滿分7分。

解：

????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 2分

，即???????????????????????????????????????????????????????? 4分

????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 5分

曲線的方程為??????????????????????????????????????????????????????????? 7分

（Ⅱ）本題主要考查直線和圓的極坐標方程，考查運算求解能力及化歸與轉化思想，滿分7

分。

解：

即???????????????????????????????????????????????????????????????????? 3分

圓心的坐標為??????????????????????????????????????????????????????????????????????? 4分

，即???????????????????????????????????????????????????????????????? 5分

圓心到直線的距離為1?????????????????????????????????????????????????????????????????????? 7分

（Ⅲ）本題主要考查利用常見不等式求條件最值，考查化歸與轉化思想，滿分7分

解：

????????????????????????????????????????? 3分

?????????????????????????????????????????????????????????????????? 5分

當且僅當即時取到“=”號，

當時的最小值為??????????????????????????????? 7分