已知斜三棱柱ABC-A₁B₁C₁，側面ACC₁A₁與底面ABC垂直，∠ABC=90°，BC=2，AC=2

3

，且AA₁⊥A₁C，AA₁=A₁C．
（1）試判斷A₁A與平面A₁BC是否垂直，并說明理由；
（2）求側面BB₁C₁C與底面ABC所成銳二面角的余弦值．

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已知斜三棱柱ABC-A₁B₁C₁，側面ACC₁A₁與底面ABC垂直，∠ABC=90°，BC=2，AC=2，且AA₁⊥A₁C，AA₁=A₁C。
（1）試判斷A₁A與平面A₁BC是否垂直，并說明理由；
（2）求側面BB₁C₁C與底面ABC所成銳二面角的余弦值。

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已知斜三棱柱ABC-A₁B₁C₁，側面ACC₁A₁與底面ABC垂直，∠ABC=90°，，且AA₁⊥A₁C，AA₁=A₁C．
（1）試判斷A₁A與平面A₁BC是否垂直，并說明理由；
（2）求側面BB₁C₁C與底面ABC所成銳二面角的余弦值．

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已知斜三棱柱ABC－A₁B₁C₁，側面ACC₁A₁與底面ABC垂直，∠ABC＝90°，BC＝2，AC＝2，且AA₁⊥A₁C，AA₁＝A₁C．

(1)試判斷AA₁與平面A₁BC是否垂直，并說明理由；

(2)求側面BB₁C₁C與底面ABC所成銳二面角的余弦值．

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一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分。

CABD  CDDC  BABD

二、填空題：本大題共4小題，每小題4分，共16分。

13．3                              14．1200                  15．           16．

三、解答題：本大題共6小題，共74分。

17．解：                                                                               1分

       ∵，∴⊥，∴∠

       在Rt△ADC中                                                          4分

       ∴                                                                                                         6分

       ∵                                               7分

       又∵                      9分

       ∴

                                                                              12分

18．解：（1）當=7時，甲贏意味著“第七次甲贏，前6次贏5次，但根據規則，前5次中必輸1次”，由規則，每次甲贏或乙贏的概率均為，因此

       =                                                             4分

   （2）設游戲終止時骰子向上的點數是奇數出現的次數為，向上的點數是偶數出現的次數為n，則由，可得：當

       或，時，當，或因此的可能取值是5、7、9                                               6分

       每次投擲甲贏得乙一個福娃與乙贏得甲一個福娃的可能性相同，其概率都是

               10分

       所以的分布列是：

5

7

9

                                                                    12分

19．解：設數列的公比為

   （1）若，則

       顯然不成等差數列，與題設條件矛盾，所以≠1                              1分

       由成等差數列，得

       化簡得                                           4分

       ∴                                                                              5分

   （2）解法1：                                       6分

       當≥2時，

                                                                                                                              10分

       =1+                                                               12分

       解法2：                                              6分

       當≥2時，設這里，為待定常數。

       則

       當n≥2時，易知數列為單調遞增數列，所以

       可見，n≥2時，

       于是，n≥2時，有                                           10分

       =1+                                                                           12分

20．解法一：如圖建立空間直角坐標系，

   （1）有條件知                                                1分

       由面⊥面ABC，AA₁⊥A₁C，AA₁=A₁C，知                  2分

       ∵                                ……………3分

       ∴與不垂直，即AA₁與BC不垂直，

       ∴AA₁與平面A₁BC不垂直……5分

   （2）由ACC₁A₁為平行四邊形，

       知==…7分

       設平面BB₁C₁C的法向量，

       由

       令，則                                       9分

       另外，平面ABC的法向量（0，0，1）                                                    10分

       所以側面BB₁C₁C與底面ABC所成銳二面角的余弦值為                          12分

       解法二：（1）取AC中點D，連結A₁D，則A₁D⊥AC。

       又∵側面ACC₁A₁與底面ABC垂直，交線為AC，

       ∵A₁D⊥面ABC                                       ………2分

       ∴A₁D⊥BC。

       假設AA₁與平面A₁BC垂直，則A₁D⊥BC。

       又A₁D⊥BC，由線面垂直的判定定理，

       BC⊥面A₁AC，所以BC⊥AC，這樣在△ABC中

       有兩個直角，與三角形內角和定理矛盾。假設不

       成立，所以AA₁不與平面A₁BC垂直………5分

   （2）側面BB₁C₁C與底面ABC所成的銳二面角即為側面BB₁C₁C與A₁B₁C₁底面所成的銳二面角。

       過點C作A₁C₁的垂線CE于E，則CE⊥面A₁B₁C₁，B₁C₁⊥CE。

       過點E作B₁C₁的垂線EF于F，連結CF。

       因為B₁C₁⊥EF，B₁C₁⊥CE，所以B₁C₁⊥面EFC，B₁C₁⊥CF

       所以∠CFE即為所求側面BB₁C₁C與地面A₁B₁C₁所成的銳二面角的平面角      9分

       由得

       在Rt△ABC中，cos∠

       所以，側面BB₁C₁C與底面ABC所成銳二面角的余弦值為                      12分

21．（1）設與在公共點處的切線相同。

       。由題意知

       即                                                                      2分

       解得或（舍去，）                       4分

       可見                                                                               7分

   （2）

       要使在（0，4）上單調，

       須在（0，4）上恒成立    8分

       在（0，4）上恒成立在（0，4）上恒成立。

       而且可為足夠小的正數，必有                        9分

       在（0，4）上恒成立

       或                                                                                                     11分

       綜上，所求的取值范圍為，或，或                           12分

22．（1）∵點A的坐標為（）

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