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已知橢圓的離心率為,且過點．

（1）求橢圓的標準方程；
（2）四邊形ABCD的頂點在橢圓上，且對角線A   C、BD過原點O，若,
（i） 求的最值．
（ii） 求證：四邊形ABCD的面積為定值；

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理科部分

一、選擇題（本大題共12小題，每小題5分，共60分）

     BAACA         CDBCD       AC

二、填空題（本大題共4小題，每小題4分，共16分）

     13．25        14．        15．8         16．

三、解答題

17．（本小題滿分12分）

    解：（I）

   （Ⅱ）

18．（本小題滿分12分）

    解：（I）依題意，每場比賽獲得的門票收入數組成首項為40，公差為10的等差數列，

設此數列為，則易知

    此次決賽共比賽了5場。

   （Ⅱ）由

    若要獲得的門票收入不少于390萬元，則至少要比賽6場。

    ①若比賽共進行了6場，則前5場比賽的比分必為2：3，且第6場比賽為領先一場的

球隊獲勝，其概率

    ②若比賽共進行了7場，則前6場勝負為3：3，則概率

    門票收入不少于390萬元的概率為

19．（本小題滿分12分）

    解：方法一（向量法）；

   （I）證明：以點為原點，棱所

在的直線分別為軸和軸建立空間直角坐標系

（右手系），設，則，

    又已知，可求得以下各點的

坐標為

   （Ⅱ）已知是直四棱柱，

    ，又由（I）知，

    即是平面的法向量。

    設平面的法向量為則且

    由圖形可知，二面角的平面為銳角，

    二面角的大小為

方法二（綜合法）：

    （I）是直四棱柱， 

   （Ⅱ）在內，過點作的垂線，  交點，連結。

    由（I）知

垂線定理知，

    就是二面角的平面角。

    同（I）一樣，不妨設

    在內，

    二面角的大小為

20．（本小題滿分12分）

    解：（I）

    令

    顯然當

   （Ⅱ）①當時，  函數在上是單調減函數，

在上的最小值 ， 

    又

    綜上，對任意

本問也可以這樣證：

   （Ⅱ）函數在上單調遞增，在和上單調遞減，

對任意

21．（本小題滿分12分）

    解：（I）設橢圓的方程為橢圓方程化為將點代入，解得，橢圓的方程為

   （Ⅱ）顯然，直線存在斜率（否則不滿足題意，5分），設其斜率為，則直線的方程為。代入橢圓的方程，消去并整理得

    由方程判別式，  得   ①

    設兩點的坐標為，則由韋達定理得

     將上面使用韋達定理所得的結果代入，并去分

母整理（注意在方程兩邊先約去9可以簡化計算）得

    檢驗①式，均符合；再檢驗當時，直線是否與橢圓相交于左右兩個頂點，顯然直線過橢圓的右頂點。

    不滿足題意，舍去 

    直線的方程為

22．（本小題滿分14分）

    解：（I）方法一：當時，顯然由已知可得成立。

    假設時成立，即

    則當時，根據題意有

    當時，成立。

    根據數學歸納法可知，對任意，成立

    方法二：

    ……，， 將這個等式累乘（相乘），得

    將代入得   

    檢驗當時，上式也成立， 

    方法三：