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一個(gè)社會(huì)調(diào)查機(jī)構(gòu)就某地居民的月收入調(diào)查了10000人，并根據(jù)所得數(shù)據(jù)畫(huà)出樣本的頻率分布直方圖（如圖），為了分析居民的收入與年齡、學(xué)歷、職業(yè)等方面的關(guān)系，要從這10000人中再用分層抽樣的方法抽出200人作進(jìn)一步調(diào)查，其中低于1500元的稱(chēng)為低收入者，高3000元的稱(chēng)為高收入者，則應(yīng)在低收入者和高收入者中抽取的人數(shù)一共是

60人

60人

．

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一個(gè)社會(huì)調(diào)查機(jī)構(gòu)就某地居民的月收入調(diào)查了10000人，并根據(jù)所得數(shù)據(jù)畫(huà)了樣本的頻率分布直方圖（如圖）．

根據(jù)頻率分布直方圖推測(cè)該地居民月收入平均數(shù)是

 

 元，中位數(shù)是

 

元．

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一個(gè)社會(huì)會(huì)調(diào)查機(jī)構(gòu)就某地居民的月收入調(diào)查了10000人，并根據(jù)所得數(shù)據(jù)畫(huà)了樣本的頻率分布直方圖（如圖）．為了分析居民的收入與年齡、學(xué)歷、職業(yè)等方面的關(guān)系，要從這10000人中再用分層抽樣的方法抽出100人作進(jìn)一步調(diào)查．
（Ⅰ）在[2500，3000]（元）段應(yīng)軸出多少人？
（Ⅱ）若月收入為4500元的人中有兩名高級(jí)工程師，從這5人中任取兩人進(jìn)行“幸福指數(shù)”問(wèn)卷調(diào)查，求抽取的兩人中至少有一名工程師的概率．

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理科部分

一、選擇題（本大題共12小題，每小題5分，共60分）

     BAACA         CDBCD       AC

二、填空題（本大題共4小題，每小題4分，共16分）

     13．25        14．        15．8         16．

三、解答題

17．（本小題滿(mǎn)分12分）

    解：（I）

   （Ⅱ）

18．（本小題滿(mǎn)分12分）

    解：（I）依題意，每場(chǎng)比賽獲得的門(mén)票收入數(shù)組成首項(xiàng)為40，公差為10的等差數(shù)列，

設(shè)此數(shù)列為，則易知

    此次決賽共比賽了5場(chǎng)。

   （Ⅱ）由

    若要獲得的門(mén)票收入不少于390萬(wàn)元，則至少要比賽6場(chǎng)。

    ①若比賽共進(jìn)行了6場(chǎng)，則前5場(chǎng)比賽的比分必為2：3，且第6場(chǎng)比賽為領(lǐng)先一場(chǎng)的

球隊(duì)獲勝，其概率

    ②若比賽共進(jìn)行了7場(chǎng)，則前6場(chǎng)勝負(fù)為3：3，則概率

    門(mén)票收入不少于390萬(wàn)元的概率為

19．（本小題滿(mǎn)分12分）

    解：方法一（向量法）；

   （I）證明：以點(diǎn)為原點(diǎn)，棱所

在的直線(xiàn)分別為軸和軸建立空間直角坐標(biāo)系

（右手系），設(shè)，則，

    又已知，可求得以下各點(diǎn)的

坐標(biāo)為

   （Ⅱ）已知是直四棱柱，

    ，又由（I）知，

    即是平面的法向量。

    設(shè)平面的法向量為則且

    由圖形可知，二面角的平面為銳角，

    二面角的大小為

方法二（綜合法）：

    （I）是直四棱柱， 

   （Ⅱ）在內(nèi)，過(guò)點(diǎn)作的垂線(xiàn)，  交點(diǎn)，連結(jié)。

    由（I）知

垂線(xiàn)定理知，

    就是二面角的平面角。

    同（I）一樣，不妨設(shè)

    在內(nèi)，

    二面角的大小為

20．（本小題滿(mǎn)分12分）

    解：（I）

    令

    顯然當(dāng)

   （Ⅱ）①當(dāng)時(shí)，  函數(shù)在上是單調(diào)減函數(shù)，

在上的最小值 ， 

    又

    綜上，對(duì)任意

本問(wèn)也可以這樣證：

   （Ⅱ）函數(shù)在上單調(diào)遞增，在和上單調(diào)遞減，

對(duì)任意

21．（本小題滿(mǎn)分12分）

    解：（I）設(shè)橢圓的方程為橢圓方程化為將點(diǎn)代入，解得，橢圓的方程為

   （Ⅱ）顯然，直線(xiàn)存在斜率（否則不滿(mǎn)足題意，5分），設(shè)其斜率為，則直線(xiàn)的方程為。代入橢圓的方程，消去并整理得

    由方程判別式，  得   ①

    設(shè)兩點(diǎn)的坐標(biāo)為，則由韋達(dá)定理得

     將上面使用韋達(dá)定理所得的結(jié)果代入，并去分

母整理（注意在方程兩邊先約去9可以簡(jiǎn)化計(jì)算）得

    檢驗(yàn)①式，均符合；再檢驗(yàn)當(dāng)時(shí)，直線(xiàn)是否與橢圓相交于左右兩個(gè)頂點(diǎn)，顯然直線(xiàn)過(guò)橢圓的右頂點(diǎn)。

    不滿(mǎn)足題意，舍去 

    直線(xiàn)的方程為

22．（本小題滿(mǎn)分14分）

    解：（I）方法一：當(dāng)時(shí)，顯然由已知可得成立。

    假設(shè)時(shí)成立，即

    則當(dāng)時(shí)，根據(jù)題意有

    當(dāng)時(shí)，成立。

    根據(jù)數(shù)學(xué)歸納法可知，對(duì)任意，成立

    方法二：

    ……，， 將這個(gè)等式累乘（相乘），得

    將代入得   

    檢驗(yàn)當(dāng)時(shí)，上式也成立， 

    方法三：