題目列表(包括答案和解析)
復數
（
為實數，
是虛數單位）且
，則的值為
A．1 B．－1 C．±1 D．不存在
已知復數
均為實數，
為虛數單位，且對于任意復數
。
（1）試求
的值，并分別寫出
和
用
、
表示的關系式；
（2）將(、)作為點
的坐標，(、)作為點
的坐標，上述關系可以看作是坐標平面上點的一個變換：它將平面上的點變到這一平面上的點，
當點在直線
上移動時，試求點經該變換后得到的點的軌跡方程；
（3）是否存在這樣的直線：它上面的任一點經上述變換后得到的點仍在該直線上？若存在，試求出所有這些直線；若不存在，則說明理由。
已知復數
均為實數，
為虛數單位，且對于任意復數
。
（Ⅰ）試求
的值，并分別寫出
和
用
、
表示的關系式；
（Ⅱ）將(、)作為點
的坐標，(、)作為點
的坐標，上述關系可以看作是坐標平面上點的一個變換：它將平面上的點變到這一平面上的點，當點在直線
上移動時，試求點經該變換后得到的點的軌跡方程；
（Ⅲ）是否存在這樣的直線：它上面的任一點經上述變換后得到的點仍在該直線上？若存在，試求出所有這些直線；若不存在，則說明理由。
均為實數，
為虛數單位，且對于任意復數
。
的值，并分別寫出
和
用
、
表示的關系式；、)作為點
的坐標，(、)作為點
的坐標，上述關系可以看作是坐標平面上點的一個變換：它將平面上的點變到這一平面上的點，在直線
上移動時，試求點經該變換后得到的點的軌跡方程；
理科部分
一、選擇題（本大題共12小題，每小題5分，共60分）
BAACA CDBCD AC
二、填空題（本大題共4小題，每小題4分，共16分）
13．25 14．
15．8
16．
三、解答題
17．（本小題滿分12分）
解：（I）
（Ⅱ）
18．（本小題滿分12分）
解：（I）依題意，每場比賽獲得的門票收入數組成首項為40，公差為10的等差數列，
設此數列為
，則易知
此次決賽共比賽了5場。
（Ⅱ）由
若要獲得的門票收入不少于390萬元，則至少要比賽6場。
①若比賽共進行了6場，則前5場比賽的比分必為2：3，且第6場比賽為領先一場的
球隊獲勝，其概率
②若比賽共進行了7場，則前6場勝負為3：3，則概率
門票收入不少于390萬元的概率為
19．（本小題滿分12分）
解：方法一（向量法）；
（I）證明：以
點為原點，棱
所
在的直線分別為
軸和
軸建立空間直角坐標系
（右手系），設
，則
，
又已知
，可求得以下各點的
坐標為
（Ⅱ）
已知
是直四棱柱，
，又由（I）知
，
即是平面
的法向量。
設平面
的法向量為
則
且
由圖形可知，二面角
的平面為銳角，
二面角的大小為 
方法二（綜合法）：
（I）
是直四棱柱，
（Ⅱ）在
內，過
點作
的垂線， 交
點，連結
。
由（I）知
垂線定理知，
就是二面角的平面角。
同（I）一樣，不妨設
在
內，
二面角的大小為
20．（本小題滿分12分）
解：（I）
令
顯然當
（Ⅱ）①當
時， 函數
在
上是單調減函數，
在
上的最小值 ， 
又
綜上，對任意
本問也可以這樣證：
（Ⅱ）函數在
上單調遞增，在
和上單調遞減，
對任意
21．（本小題滿分12分）
解：（I）設橢圓
的方程為
橢圓方程化為
將點
代入，解得
，橢圓的方程為
（Ⅱ）顯然，直線
存在斜率（否則不滿足題意，5分），設其斜率為
，則直線的方程為
。代入橢圓的方程，消去
并整理得
由方程判別式
， 得
①
設
兩點的坐標為
，則由韋達定理得
將上面使用韋達定理所得的結果代入，并去分
母整理（注意在方程兩邊先約去9可以簡化計算）得
檢驗①式，均符合；再檢驗當
時，直線是否與橢圓相交于左右兩個頂點，顯然直線
過橢圓的右頂點。
不滿足題意，舍去 
直線的方程為
22．（本小題滿分14分）
解：（I）方法一：當
時，顯然由已知可得
成立。
假設
時成立，即
則當
時，根據題意有
當時，成立。
根據數學歸納法可知，對任意
，成立
方法二：
……，
， 將這
個等式累乘（相乘），得
將
代入得 
檢驗當時，上式也成立， 
方法三：
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