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已知直線l：X-y+1=0，⊙O：x²+y²=2上的任意一點P到直線l的距離為d．當d取得最大時對應P的坐標（m，n），設g（x）=mx+-2lnx．
（1）求證：當x≥1，g（x）≥0恒成立；
（2）討論關于x的方程：根的個數．

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已知直線l：X-y+1=0，⊙O：x²+y²=2上的任意一點P到直線l的距離為d．當d取得最大時對應P的坐標（m，n），設g（x）=mx+-2lnx．
（1）求證：當x≥1，g（x）≥0恒成立；
（2）討論關于x的方程：根的個數．

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已知直線l：X-y+1=0，⊙O：x²+y²=2上的任意一點P到直線l的距離為d．當d取得最大時對應P的坐標（m，n），設g（x）=mx+-2lnx．
（1）求證：當x≥1，g（x）≥0恒成立；
（2）討論關于x的方程：根的個數．

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如圖，矩形ABCD中，|AB|=10，|BC|=6，現以矩形ABCD的AB邊為x軸，AB的中點為原點建立直角坐標系，P是x軸上方一點，使得PC、PD與線段AB分別交于點C₁、D₁，且|AD₁|，|D₁C₁|，|C₁B|成等比數列．
（1）求動點P的軌跡方程；
（2）求動點P到直線l：x+y+6=0距離的最大值及取得最大值時點P的坐標．

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第Ⅰ部分（正卷）

一、填空題：本大題共14小題，每小題5分，計70分。

1、    2、    3、對任意使    4、2    5、

6、    7、    8、8      9、        10、40

11、    12、4       13、    14、

二、解答題：本大題共6小題，計90分。解答應寫出必要的文字說明，證明過程或演算步驟，請把答案寫在答題紙的指定區域內。

15、解：（1）解：，

由，有，

解得。                                         ……7分

（2）解法一：       ……11分

             。  ……14分

  解法二：由（1），，得

∴   

∴                                        ……10分

于是，

               ……12分

代入得。            ……14分

16、證明：（1）∵

∴                                          ……4分

（2）令中點為，中點為，連結、

     ∵是的中位線

∴           ……6分   

又∵

∴

∴     ……8分

     ∴

     ∵為正

∴         ……10分

     ∴

     又∵，

 ∴四邊形為平行四邊形    ……12分

∴

∴    ……14分

17、解：（1）設米，，則

∵

∴

∴                                                ……2分

∴

∴                                            ……4分

∴

∴或                                            ……5分

（2）                   ……7分

     此時                                               ……10分

（3）∵

令，                       ……11分

∵

當時，

∴在上遞增                       ……13分

∴

此時                                                ……14分

答：（1）或

    （2）當的長度是4米時，矩形的面積最小，最小面積為24平方米；

    （3）當的長度是6米時，矩形的面積最小，

最小面積為27平方米。                              ……15分

18、（1）解：①若直線的斜率不存在，即直線是，符合題意。   ……2分

②若直線斜率存在，設直線為，即。

由題意知，圓心以已知直線的距離等于半徑2，即：，

解之得                                                  ……5分

所求直線方程是，                            ……6分

（2）解法一：直線與圓相交，斜率必定存在，且不為0，可設直線方程為

由得                       ……8分

又直線與垂直，由得 ……11分

∴

……13分

             為定值。

   故是定值，且為6。                            ……15分

19、解：（1）由題意得，                             ……2分

∴，    ∴    ……3分

∴，∴在是

單調增函數，                                             ……5分

∴對于恒成立。      ……6分

（2）方程；   ∴  ……7分

     ∵，∴方程為                      ……9分

     令，，

      ∵，當時，，∴在上為增函數；

     時，，  ∴在上為減函數，    ……12分

     當時，                     ……13分

，            

∴函數、在同一坐標系的大致圖象如圖所示，

∴①當，即時，方程無解。

②當，即時，方程有一個根。

③當，即時，方程有兩個根。    ……16分

第Ⅱ部分（附加卷）

一、必做題

21、解：（1）由