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為了了解某市工人開展體育活動的情況，擬采用分層抽樣的方法從A，B，C三個區中抽取7個工廠進行調查，已知A，B，C區中分別有18，27，18個工廠

（Ⅰ）從A，B，C區中分別抽取的工廠個數；

（Ⅱ）若從抽取的7個工廠中隨機抽取2個進行調查結果的對比，計算這2個工廠中至少有1個來自A區的概率.

【解析】本試題主要考查了統計和概率的綜合運用。

第一問工廠總數為18+27+18=63，樣本容量與總體中的個體數比為7/63=1/9…3分

所以從A，B，C三個區中應分別抽取的工廠個數為2，3，2。

第二問設A₁，A₂為在A區中的抽得的2個工廠，B₁，B₂­，B₃為在B區中抽得的3個工廠，

C₁，C₂為在C區中抽得的2個工廠。

這7個工廠中隨機的抽取2個，全部的可能結果有1/2*7*6=32種。

隨機的抽取的2個工廠至少有一個來自A區的結果有A₁，A₂），A₁，B₂），A₁，B₁），

A₁，B₃）A₁，C₂），A₁，C₁）， …………9分

同理A₂還能給合5種，一共有11種。  

所以所求的概率為p=11/21

2010年11月廣州成功舉辦了第十六屆亞運會。在華南理工大學學生會舉行的亞運知識有獎問答比賽中，甲、乙、丙同時回答一道有關亞運知識的問題，已知甲回答對這道題目的概率是，甲、丙兩人都回答錯的概率是，乙、丙兩人都回答對的概率是．

（1）求乙、丙兩人各自回答對這道題目的概率．

（2）（理）求回答對這道題目的人數的隨機變量的分布列和期望．

【解析】本試題主要考查了獨立事件概率的乘法計算公式的運用。以及對立事件的概率的運用。

某同學在一次研究性學習中發現，以下五個式子的值都等于同一個常數。

（1）sin²13°+cos²17°-sin13°cos17°

（2）sin²15°+cos²15°-sin15°cos15°

（3）sin²18°+cos²12°-sin18°cos12°

（4）sin²（-18°）+cos²48°- sin²（-18°）cos²48°

（5）sin²（-25°）+cos²55°- sin²（-25°）cos²55°

Ⅰ 試從上述五個式子中選擇一個，求出這個常數

Ⅱ 根據（Ⅰ）的計算結果，將該同學的發現推廣位三角恒等式，并證明你的結論

【解析】

零件直徑相等的概率。本小題主要考查用列舉法計算隨機事件所含的基本事件數及事件發生的概率等基礎知識，考查數據處理能力及運用概率知識解決簡單的實際問題的能力。滿分12分

【解析】（Ⅰ）解：由所給數據可知，一等品零件共有6個.設“從10個零件中，隨機抽取一個為一等品”為事件A，則P（A）==.

      （Ⅱ）（i）解：一等品零件的編號為.從這6個一等品零件中隨機抽取2個，所有可能的結果有：,,,

,,,共有15種.

      (ii)解：“從一等品零件中，隨機抽取的2個零件直徑相等”（記為事件B）的所有可能結果有：，，共有6種.

      所以P(B)=.

（本小題滿分12分）

如圖，在五面體ABCDEF中，四邊形ADEF是正方形，FA⊥平面ABCD，BC∥AD，CD=1，AD=，∠BAD＝∠CDA＝45°.

（Ⅰ）求異面直線CE與AF所成角的余弦值；      

（Ⅱ）證明CD⊥平面ABF；

（Ⅲ）求二面角B-EF-A的正切值。

已知函數, 其中.

（1）當時，求曲線在點處的切線方程；

（2）當時，求曲線的單調區間與極值.

【解析】第一問中利用當時，，

，得到切線方程

第二問中，

對a分情況討論，確定單調性和極值問題。

解: (1) 當時，，

………………………….2分

   切線方程為: …………………………..5分

 (2)

…….7分

分類: 當時, 很顯然

的單調增區間為:  單調減區間: ,

, …………  11分

當時的單調減區間:  單調增區間: ,

,