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直線l：y=k（x-1）過已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1經過點（0，

3

），離心率為

1

2

，經過橢圓C的右焦點F的直線l交橢圓于A、B兩點，點A、F、B在直線x=4上的射影依次為點D、K、E．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）若直線l交y軸于點M，且

MA

=λ

AF

，

MB

=μ

BF

，當直線l的傾斜角變化時，探求λ+μ的值是否為定值？若是，求出λ+μ的值，否則，說明理由；
（Ⅲ）連接AE、BD，試探索當直線l的傾斜角變化時，直線AE與BD是否相交于定點？若是，請求出定點的坐標，并給予證明；否則，說明理由．

直線y=kx+1與雙曲線x²-y²=1的左支交于A，B兩點，直線l經過點（-2，0）及AB中點，求直線l在y軸上截距b的取值范圍．

在直角坐標系xOy中，直線l與x軸正半軸和y軸正半軸分別相交于A，B兩點，△AOB的內切圓為⊙M．
（1）如果⊙M半徑為1，l與⊙M切于點C(

3

2

，1+

3

2

)，求直線l的方程；
（2）如果⊙M半徑為1，證明當△AOB的面積、周長最小時，此時△AOB為同一三角形；
（3）如果l的方程為x+y-2-

2

=0，P為⊙M上任一點，求PA²+PB²+PO²的最值．

在直角坐標坐標系中，已知一個圓心在坐標原點，半徑為2的圓，從這個圓上任意一點P向y軸作垂線段PP′，P′為垂足．
（1）求線段PP′中點M的軌跡C的方程．
（2）過點Q（一2，0）作直線l與曲線C交于A、B兩點，設N是過點（-

4

17

，0），且以言

a

=(0，1)為方向向量的直線上一動點，滿足

ON

=

OA

+

OB

（O為坐標原點），問是否存在這樣的直線l，使得四邊形OANB為矩形？若存在，求出直線Z的方程；若不存在，說明理由．

在直角坐標平面上，O為原點，M為動點，|

OM

|=

5

，

ON

=

2 5

5

OM

．過點M作MM₁⊥y軸于M₁，過N作NN₁⊥x軸于點N₁，

OT

=

M1M

+

N1N

．記點T的軌跡為曲線C，點A（5，0）、B（1，0），過點A作直線l交曲線C于兩個不同的點P、Q（點Q在A與P之間）．
（Ⅰ）求曲線C的方程；
（Ⅱ）是否存在直線l，使得|BP|=|BQ|，并說明理由．