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橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左、右頂點的坐標(biāo)分別為A（-2，0），B（2，0），離心率e=

1

2

（Ⅰ）求橢圓C的方程：
（Ⅱ）設(shè)橢圓的兩焦點分別為F₁，F(xiàn)₂，點P是其上的動點，
（1）當(dāng)△PF₁F₂內(nèi)切圓的面積最大時，求內(nèi)切圓圓心的坐標(biāo)；
（2）若直線l：y=k（x-1）（k≠0）與橢圓交于M、N兩點，證明直線AM與直線BN的交點在直線x=4上．

橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），A₁、A₂、B₁、B₂分別為橢圓C的長軸與短軸的端點．
（1）設(shè)點M（x₀，0），若當(dāng)且僅當(dāng)橢圓C上的點P在橢圓長軸頂點A₁、A₂處時，|PM|取得最大值與最小值，求x₀的取值范圍；
（2）若橢圓C上的點P到焦點距離的最大值為3，最小值為l，且與直線l：y=kx+m相交于A，B兩點（A，B不是橢圓的左右頂點），并滿足AA₂⊥BA₂．試研究：直線l是否過定點？若過定點，請求出定點坐標(biāo)，若不過定點，請說明理由．