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已知是等差數列，其前n項和為S_n，是等比數列，且，.

（Ⅰ）求數列與的通項公式；

（Ⅱ）記，，證明（）.

【解析】（1）設等差數列的公差為d，等比數列的公比為q.

由，得，，.

由條件，得方程組，解得

所以，，.

（2）證明：（方法一）

由（1）得

     ①

   ②

由②-①得

而

故，

（方法二：數學歸納法）

①  當n=1時，，，故等式成立.

②  假設當n=k時等式成立，即，則當n=k+1時，有：

   

   

即，因此n=k+1時等式也成立

由①和②，可知對任意，成立.

 

選擇題．

(1)由，確定的等差數列，當時，序號n等于

[　　］

(A)99．

(B)100．

(C)96．

(D)101．

(2)一個蜂巢里有1只蜜蜂．第1天，它飛出去找回了5個伙伴；第2天，6只蜜蜂飛出去，各自找回了5個伙伴……如果這個找伙伴的過程繼續下去，第6天所有的蜜蜂都歸巢后，蜂巢中一共有(　　)只蜜蜂．

[　　]

(A)55986．

(B)46656．

(C)216．

(D)36．

(3)預測人口的變化趨勢有多種方法，“直接推算法”使用的公式是，其中為預測期人口數，為初期人口數，k為預測期內年增長率，n為預測期間隔年數．如果在某一時期有－1＜k＜0，那么在這期間人口數

[　　]

(A)呈上升趨勢．

(B)呈下降趨勢．

(C)擺動變化．

(D)不變．

(4)《萊因德紙草書》(Rhind Papyrus)是世界上最古老的數學著作之一．書中有一道這樣的題目：把100個面包分給5個人，使每人所得成等差數列，且使較大的三份之和的是較小的兩份之和，問最小1份為

[　　]

(A)．

(B)．

(C)．

(D)．

已知數列是各項均不為0的等差數列，公差為d，為其前n項和，且滿足,．數列滿足,，為數列的前n項和．

（1）求數列的通項公式和數列的前n項和；

（2）若對任意的，不等式恒成立，求實數的取值范圍；

（3）是否存在正整數，使得成等比數列？若存在，求出所有的值；若不存在，請說明理由．

【解析】第一問利用在中，令n=1，n=2，

得   即      

解得，， [

又時，滿足，

，

第二問，①當n為偶數時，要使不等式恒成立，即需不等式恒成立．   

 ，等號在n=2時取得．

此時 需滿足．  

②當n為奇數時，要使不等式恒成立，即需不等式恒成立．     

 是隨n的增大而增大， n=1時取得最小值-6．

此時 需滿足．

第三問，

     若成等比數列，則，

即．

由，可得，即，

        ．

（1）（法一）在中，令n=1，n=2，

得   即      

解得，， [

又時，滿足，

，

．

（2）①當n為偶數時，要使不等式恒成立，即需不等式恒成立．   

 ，等號在n=2時取得．

此時 需滿足．  

②當n為奇數時，要使不等式恒成立，即需不等式恒成立．     

 是隨n的增大而增大， n=1時取得最小值-6．

此時 需滿足．

綜合①、②可得的取值范圍是．

（3），

     若成等比數列，則，

即．

由，可得，即，

．

又，且m>1，所以m=2，此時n=12．

因此，當且僅當m=2， n=12時，數列中的成等比數列