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如圖，三棱柱ABC-A₁B₁C₁的底面是邊長為2的正三角形且側棱垂直于底面，側棱長是

3

，D是AC的中點．
（1）求證：B₁C∥平面A₁BD；
（2）求二面角A₁-BD-A的大小；
（3）求直線AB₁與平面A₁BD所成的角的正弦值．

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一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

題號

１

２

３

４

５

６

７

８

９

１０

１１

１２

答案

D

B

A

D

Ｃ

B

D

Ｃ

A

D

Ｂ

A

１．答案：Ｄ

２. 答案：Ｂ　由

由，

則，

３．答案：Ａ　　由．另該題也可直接用的周期性解答．

４．答案：Ｄ

５．答案：Ｃ 由垂直、平行可得．

６．答案：Ｂ 由，

        ∥，

      故

7．答案：Ｄ　

８．答案：Ｃ　所以：

９.答案：Ｄ　

１０.答案：Ｄ　，

　　　　　　題中

　　　　　故

１１.答案：B

           注意到雙曲線的對稱性可知：

         所以．

１２.答案：Ａ　由于

　　　　，

二、填空題：本大題共４小題，每小題５分，共２０分．

１３．答案：７０　由圖可知：底部周長小于１１０cm的株樹為：

14．答案：１０　準線x=-1，,

15．答案：　如圖所示：

１６.答案：從第二行起，周期為８得對應的指頭是大拇指．

三、解答題：本大題共５小題，共６０分．解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟．

１７.（本題１２分） 解：①設公差為，公比為

  　…………………………………(６分)

②

　　…………………………………(1２分)

１８．（本題１２分）

解法一：（1）設與相交于點P，連接PD，則P為中點，

D為AC中點，PD//。

又PD平面D，

//平面D   …………………………………(４分)

（2）正三棱住，

 底面ABC。

又BDAC

BD

就是二面角的平面角。

=，AD=AC=1

tan =

=, 即二面角的大小是 …………………(８分)

（3）由（2）作AM，M為垂足。

BDAC，平面平面ABC，平面平面ABC=AC

BD平面，

AM平面，

BDAM

BD = D

AM平面，連接MP，則就是直線與平面D所成的角。

=，AD=1，在RtD中，=，

，。

直線與平面D所成的角的正弦值為…………………(1２分)

解法二：

（1）同解法一

（2）如圖建立空間直角坐標系，

則D（0，0，0），A（1，0，0），（1，0，），B（0，，0），（0，，）

=（-1，，-），=（-1，0，-）

設平面的法向量為n=（x，y，z）

則n

n

則有，得n=（，0，1）

由題意，知=（0，0，）是平面ABD的一個法向量。

設n與所成角為，

則，

二面角的大小是

（3）由已知，得=（-1，，），n=（，0，1）

則

直線與平面D所成的角的正弦值為w.w.w.k.s.5.u.c

１９. （本題１２分）

（1）

因為每人從兩種食品中各取一件，兩件恰好都是不合格食品的概率為0.02，所以三人分別從中各取一件，恰好有一人取到兩件都是不合格品的事件，可看做三次獨立重復試驗問題。

   …………………………………(６分)

(2)

所求的分布列為：

0

1

2

P

0.72

0.26

0.02

E=…………………………(１２分)

２０. （本題１２分）解：（1）由題意，

   為的中點