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（Ⅰ）求證：；
（Ⅱ）化簡：．

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（Ⅰ）求證：；
（Ⅱ）利用第（Ⅰ）問的結果證明C_n¹+2C_n²+3C_n³+…+nC_nⁿ=n•2^n-1；  
（Ⅲ）其實我們常借用構造等式，對同一個量算兩次的方法來證明組合等式，譬如：（1+x）¹+（1+x）²+（1+x）³+…+（1+x）ⁿ=；，由左邊可求得x²的系數為C₂²+C₃²+C₄²+…+C_n²，利用右式可得x²的系數為C_n+1³，所以C₂²+C₃²+C₄²+…+C_n²=C_n+1³．請利用此方法證明：（C_2n）²-（C_2n¹）²+（C_2n²）²-（C_2n³）²+…+（C_2n²ⁿ）²=（-1）ⁿC_2nⁿ．

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注意事項：

１．本試卷滿分150分，考試時間120分鐘.

２．答卷前，考生務必將自己的學校、班級、姓名等寫在三相應的位置．

３．本卷為答題卷，要求將所有試題答案或解答寫在答題卷指定位置上．

４．請用0.5毫米以下黑色的水筆作答．

考 生 填 寫 座 位

號 碼 的 末 兩 位

題 號

一

二

三

四

17

18

19

20

21

22

23

得 分

一．選擇題：(本大題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的;每小題選出答案后，請用2B鉛筆把就機讀卡上對應題目的答案標號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號.)

題號

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

答案

A

C

B

C

D

C

C

B

D

B

A

A

得分

評卷人

二．填空題(請把答案填在對應題號的橫線上)

13. .    14．.

15．.    16. .

三.解答題（本大題共5小題，共64分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.請將答題的過程寫在答題卷中指定的位置.）

17.( 本題滿分12分)

解：（Ⅰ）∵，∴ （3分），又∵ 是鈍角，

       ∴ （或）；...............6分

（Ⅱ）由余弦定理得，，..........9分

   ∴ .................12分，

18．（本題滿分12分）

解：（Ⅰ）設兩個紅球為，三個白球為，從中任意選取2個球，所有可能的結果如下：（），（），（），（），（），（），（），（），（），（），（），（），（），（），（），（），（），（），（），（）共有20種，………………………………………………………（5分）

其中紅球、白球都有的結果是（），（），（），（），（），（），（），（），（），（），（），（）共有12種，

所以紅球、白球都有的概率為；…（8分）

（Ⅱ）∵“紅球個數不少于白球個數”包含兩類：兩紅，一紅一白，

∴由（Ⅰ）知中獎的概率為．……………………（12分）

19．（本題滿分12分）

證明：（Ⅰ）∵ ∥，

又，，

          ∴ ∥；........4分

  （Ⅱ）在三棱柱中，

    ∵ ，

∴ 四邊形，，都是矩形，

又 ∵ ，，，

∴ ，又 ∵ 為中點，

在中，，同理，．

     ∴ ，∴ ，.....8分

     在中，，

     在中，，

∴ ，∴ ．....10分

又 ，

∴　．..........12分

解法二：（Ⅱ）以為原點，建立如圖所示的空間直角坐標系，設，，，（6分），則 ，，，  ∴ ，

∴，∴（8分），

∴ ，

∴ ，∴（10分）

又 ，∴ ．....12分

20.（本題滿分14分）

解；（Ⅰ）設圓：....①，將和兩點坐標代入①得，

  ........................②（2分）

 又 ∵ 圓心在直線上，則 ...........③（3分）

   聯立②、③解之（4分），將代入中，得 ，

 故 圓的方程為 （5分）．

（Ⅱ）∵直線與的傾斜角互補，又點在圓上，且為圓上相異兩點，∴ 它們的傾斜角都不為，∴它們的斜率互為相反數（6分），

     設直線的方程為 ，則直線的方程為 （7分），

     聯立 ，.............（9分）

（或 （9分））

解之：， ，（11分），

（或 解之，（11分））

同理可得，，（12分），

（或 （12分））

∴ ............14分

（或 ...........14分）

21.（本題滿分14分）

解：（Ⅰ）當=9時

則......2分

令

解得：或........3分

故函數在區間（－，－１）上是增函數，

　　　　　　　　　　　　　在區間（３，＋）上也是增函數．..5分

（Ⅱ）

函數在（－，＋）上為增函數，∴對于，０恒成立，

故：＝36－120，解得：3.........8分

所以3時，函數在（－，＋）上為增函數．......9分

　（Ⅲ）在（Ⅱ）條件下函數在（－，＋）上為增函數，所以， 函數在區間上是增函數，故有：

，∵，∴，從而方程x=至少有兩個不相等的實數根，即方程 至少有兩個不相等的實數根．.............11分

又方程有一根為0，故：方程至少有一個不為0的根.

∴，解得：且0............13分

　　　　又∵3

　　　∴ ３．...........14分

四．選考題(從下列兩道解答題中任選一道作答，作答時，請注明題號；若多做，則按首做題計入總分，滿分10分; 請將答題的過程寫在答題卷中指定的位置）

你選做_______題(請在橫線上注明題號)

解（或證明）：

22. 證明：∵是的切線，直線是的割線

∴ ，（2分）

  又 ∵ ，∴，∴ （5分），

     ∵ ，

∴ △與△兩邊對應成比例，且夾角相等（7分），

∴ △∽△（8分）

∴ （10分）．

23. 解：（Ⅰ）直線的參數方程是，即 ..5分

（Ⅱ）設，則，

∵，（7分），

∴ ，即圓的極坐標方程為     

．.........10分