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（2012•豐臺區二模）已知平面上四個點A₁（0，0），A2(2

3

，2)，A3(2

3

+4，2)，A₄（4，0）．設D是四邊形A₁A₂A₃A₄及其內部的點構成的點的集合，點P₀是四邊形對角線的交點，若集合S={P∈D||PP₀|≤|PA_i|，i=1，2，3，4}，則集合S所表示的平面區域的面積為（　　）

（2013•松江區二模）如圖，有以下命題成立：設點P，Q是線段AB的三等分點，則有

OP

+

OQ

=

OA

+

OB

．將此命題推廣，設點A₁，A₂，A₃，A₄，A₅是線段AB的六等分點，則

OA1

+

OA2

+

OA3

+

OA4

+

OA5

=(

OA

+

OB

)．

（1）如圖，設點P，Q是線段AB的三等分點，若

OA

=

a

，

OB

=

b

，試用

a

，

b

表示

OP

，

OQ

，并判斷

OP

+

OQ

與

OA

+

OB

的關系；
（2）受（1）的啟示，如果點A₁，A₂，A₃，…，A_n-1是AB的n（n≥3）等分點，你能得到什么結論？請證明你的結論．

過點P（1，0）作曲線C：y=x²（x＞0）的切線，切點為M₁，設點M₁在x軸上的投影是點P₁，又過點P₁作曲線C的切線，切點為M₂，設點M₂在x軸上的投影是點P₂，…依此下去，得到點列P₁，P₂，P₃，…，記它們的橫坐標a₁，a₂，a₃，…構成數列{a_n}．
（Ⅰ）求a_n與a_n-1（n≥2）的關系式；
（Ⅱ）令bn=

n

an

，求數列{b_n}的前n項和．

已知點P（a1，b1），P2（a2，b2），...，Pn（an，bn）（n為整數）都在函數y=的圖像上，且數列{a_n}是a₁=1，公差為d的等差數列。
（1）證明：數列{b_n}是公比為的等比數列；
（2）若公差d=1，以點P_n的橫、縱坐標為邊長的矩形面積為C_n，求最小的實數t，若使C_n<t（t∈R，t≠0）對一切正整數k恒成立；
（3）對（2）中的數列{a_n}，對每個正整數k，在a_k與a_k+1之間插入2^k-1個3（如在a₁與a₂之間插入2⁰個3，
a₂與a₃之間插入2₁個3，a₃與a₄之間插入2²個3，依此類推），得到一個新的數列{d_n}，設S_n是數列
{d_n}的前n項和，試求S₁₀₀₀。