某校高三數(shù)學(xué)競賽初賽考試后，對考生成績進行統(tǒng)計（考生成績均不低于90分，滿分150分），將成績按如下方式分成六組，第一組[90，100）、第二組[100，110）…第六組[140，150]．如圖為其頻率分布直方圖的一部分，若第四、五、六組的人數(shù)依次成等差數(shù)列，且第六組有4人．
（Ⅰ）請補充完整頻率分布直方圖，并估計這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)M；
（Ⅱ）現(xiàn)根據(jù)初賽成績從第四組和第六組中任意選2人，記他們的成績分別為x，y．若|x-y|≥10，則稱此二
人為“黃金幫扶組”，試求選出的二人的概率P₁；
（Ⅲ）以此樣本的頻率當(dāng)作概率，現(xiàn)隨機在這組樣本中選出的3名學(xué)生，求成績不低于120分的人數(shù)ξ分布列及期望．

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一．選擇題

題號

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

答案

B

B

A

B

D

B

B

C

B

A

C

D

二．填空題

13． 4 ；          14．  ；      15． 2   ；     16．32 ；

三．解答題．

17．解：（1）  ……………………………2分

  ……………………………4分

  …………………………………………6分

（2）由余弦定理得：

（當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立）………………9分

  …………………………………………………11分

的面積最大值為  …………………………………………………………12分

18．解：（Ⅰ）由得

 …………………2分

∴   ……………………………………4分

（Ⅱ）由整理得

∴數(shù)列是以為首項，以2為公比的等比數(shù)列， …………………6分

∴

∴

∵當(dāng)時滿足  ………………………………………8分

（Ⅲ）

則  ………………………………………………………………10分

∴

∴當(dāng)時，，當(dāng)時，

高三數(shù)學(xué)（理科）（模擬一）答案第1頁

即當(dāng)或2時，。當(dāng)時，……2分

19．解：（Ⅰ）擲出點數(shù)x可能是：1，2，3，4.

則分別得：。于是的所有取值分別為：0，1，4 .

因此的所有取值為：0，1，2，4，5，8.  …………………………………………2分

當(dāng)且時，可取得最大值8，

此時，； ………………………………………………………4分

當(dāng)時且時，可取得最小值 0.

此時   …………………………………………………………6分

（Ⅱ）由（1）知的所有取值為：0，1，2，4，5，8.

 ……………………………………………………………7分

當(dāng)時,的所有取值為(2，3)、(4，3)、(3，2),(3，4)即；

當(dāng)時,的所有取值為(2，2)、(4，4)、(4，2),(2，4)即…8分

當(dāng)時,的所有取值為(1，3)、(3，1)即；

當(dāng)時,的所有取值為(1，2)、(2，1)、(1，4),(4，1)即 …9分

所以的分布列為：

0

1

2

4

5

8

…

…………10分

即的期望 ………………12分

20．解：（Ⅰ）因為平面，   

所以平面平面，………………1分

又，所以平面，

得，又 ………2分

所以平面； ………………………3分

（Ⅱ）因為，所以四邊形為菱形，

故，

又D為AC中點，知 ……………4分

取中點F，則平面，從而平面平面………………6分

過作于，則面，

高三數(shù)學(xué)（理科）（模擬一）答案第2頁

    在中，，故  ……………………………7分

即到平面的距離為 …………………………………………8分

（Ⅲ）過作于，連，則

從而為二面角的平面角，  ……………………………………9分

在中，所以

在中，………………………………………11分

故二面角的大小為 ………………………………………12分

解法2：（Ⅰ）如圖，取AB的中點E，則DE//BC，因為

所以又平面…………………1分

以為軸建立空間坐標(biāo)系，

則

 ……………………2分

由知

又從而平面   ……………3分

（Ⅱ）由，得 ………4分

設(shè)平面的法向量為

所以設(shè)則……………………………7分

所以點到平面的距離………………………………8分

（Ⅲ）再設(shè)平面的法向量為

 所以 …………………………………9分

故，根據(jù)法向量的方向， ………………………11分

可知二面角的大小為………………………………………12分

高三數(shù)學(xué)（理科）（模擬一）答案第3頁

21．解：（1）∵的圖象關(guān)于原點對稱，∴恒成立，即

∴又的圖象在處的切線方程為即…2分

∴，且而 ∴ …………………3分

∴ 解得 故所求的解析式為 ……6分

（2）解 得或

又，由得且當(dāng)或時，  ………………………………………………………………………………8分

當(dāng)時∴在和遞增;在上遞減。…9分

∴在上的極大值和極小值分別為

而故存在這樣的區(qū)間其中一個區(qū)間為…12分

22. 解：（1）由題意得設(shè)

則

由即① …………………………………2分

又在雙曲線上，則 ②

聯(lián)立①、②，解得：

由題意， ∴∴點T的坐標(biāo)為（2，0）. ………………………………4分

（2）設(shè)直線與的交點M的坐標(biāo)為

由、P、M三點共線，得：  ①

由、、三點共線，得： ②

聯(lián)①、②立，解得： ……………………………………………6分

∵在雙曲線上，∴

∴軌跡E的方程為  ………………………………………8分

高三數(shù)學(xué)（理科）（模擬一）答案第4頁

（3）容易驗證直線的斜率不為0.

故要設(shè)直線的方程為代入中得：

設(shè)且,則由根與系數(shù)的關(guān)系，

得：，①   ②  ………………………………10分

∵，∴有且。將①式平方除以②式，得：

由

  ……………………………………………………………12分

∵ ∴

又 ∴

故

令 ∵  ∴ 即

∴

而 ∴ ∴   …………………14分

高三數(shù)學(xué)（理科）（模擬一）答案第5頁