題目列表(包括答案和解析)
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一個均勻的正四面體面上分別涂有1,2,3,4四個數字，現隨機投擲兩次，正四面體面朝下的數字分別為
．
(1)記
，求
的概率；
(2)若方程
至少有一根
，就稱該方程為“漂亮方程”，求方程為“漂亮方程”的概率．
一．選擇題
題號
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
B
B
A
B
D
B
B
C
B
A
C
D
二．填空題
13． 4 ；
14．
； 15． 2 ； 16．32 ；
三．解答題．
17．解：（1）
……………………………2分
……………………………4分
…………………………………………6分
（2）
由余弦定理得：
（當且僅當
時等號成立）………………9分
…………………………………………………11分
的面積最大值為
…………………………………………………………12分
18．解：（Ⅰ）由
得
…………………2分
∴
……………………………………4分
（Ⅱ）由
整理得
∴數列
是以
為首項，以2為公比的等比數列， …………………6分
∴
∴
∵當
時
滿足
………………………………………8分
（Ⅲ）
則
………………………………………………………………10分
∴
∴當時，
，當
時，
高三數學（理科）（模擬一）答案第1頁
即當或2時，
。當
時，
……2分
19．解：（Ⅰ）擲出點數x可能是：1，2，3，4.
則
分別得：
。于是
的所有取值分別為：0，1，4 .
因此
的所有取值為：0，1，2，4，5，8. …………………………………………2分
當
且
時，
可取得最大值8，
此時，
； ………………………………………………………4分
當
時且
時，可取得最小值 0.
此時
…………………………………………………………6分
（Ⅱ）由（1）知的所有取值為：0，1，2，4，5，8.
……………………………………………………………7分
當
時,
的所有取值為(2，3)、(4，3)、(3，2),(3，4)即
；
當
時,的所有取值為(2，2)、(4，4)、(4，2),(2，4)即
…8分
當
時,的所有取值為(1，3)、(3，1)即
；
當
時,的所有取值為(1，2)、(2，1)、(1，4),(4，1)即
…9分
所以的分布列為：
0
1
2
4
5
8
…
…………10分
即的期望
………………12分
20．解：（Ⅰ）因為
平面
，
所以平面
平面，………………1分
又
，所以
平面
，
得
，又
………2分
所以
平面
； ………………………3分
（Ⅱ）因為
，所以四邊形為菱形，
故
，
又D為AC中點，知
……………4分
取
中點F，則
平面
，從而平面
平面………………6分
過
作
于
，則
面
，
高三數學（理科）（模擬一）答案第2頁
在
中，
，故
……………………………7分
即
到平面的距離為
…………………………………………8分
（Ⅲ）過作
于
，連
，則
從而
為二面角
的平面角， ……………………………………9分
在
中
，所以
在
中，
………………………………………11分
故二面角的大小為
………………………………………12分
解法2：（Ⅰ）如圖，取AB的中點E，則DE//BC，因為
所以
又平面
…………………1分
以
為
軸建立空間坐標系，
則
……………………2分
由
知
又從而平面
……………3分
（Ⅱ）由
，得 
………4分
設平面的法向量為
所以
設
則
……………………………7分
所以點
到平面的距離
………………………………8分
（Ⅲ）再設平面的法向量為
所以
…………………………………9分
故
，根據法向量的方向， ………………………11分
可知二面角的大小為
………………………………………12分
高三數學（理科）（模擬一）答案第3頁
21．解：（1）∵
的圖象關于原點對稱，∴
恒成立，即
∴
又的圖象在
處的切線方程為
即
…2分
∴
，且
而
∴
…………………3分
∴
解得
故所求的解析式為
……6分
（2）解
得
或
又
，由
得
且當
或
時，
………………………………………………………………………………8分
當
時
∴在
和
遞增;在
上遞減。…9分
∴在
上的極大值和極小值分別為
而
故存在這樣的區間
其中一個區間為…12分
22. 解：（1）由題意得
設
則
由
即
① …………………………………2分
又
在雙曲線上，則
②
聯立①、②，解得：
由題意，
∴
∴點T的坐標為（2，0）. ………………………………4分
（2）設直線
與
的交點M的坐標為
由
、P、M三點共線，得：
①
由
、
、
三點共線，得：
②
聯①、②立，解得：
……………………………………………6分
∵在雙曲線上，∴
∴軌跡E的方程為
………………………………………8分
高三數學（理科）（模擬一）答案第4頁
（3）容易驗證直線
的斜率不為0.
故要設直線的方程為
代入
中得：
設
且
,則由根與系數的關系，
得：
，① 
② ………………………………10分
∵
，∴有
且
。將①式平方除以②式，得：
由
……………………………………………………………12分
∵
∴
又
∴
故
令
∵
∴
即
∴
而 ∴
∴ 
…………………14分
高三數學（理科）（模擬一）答案第5頁
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