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（本小題滿分14分）已知各項均為正數的數列滿足,且,其中.
（Ⅰ）求數列的通項公式;
（Ⅱ）設數列的前項和為,令,其中,試比較與的大小,并加以證明.

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（本小題滿分14分）
已知各項均為正數的數列{a_n}前n項和為S_n，(p – 1)S_n = p² – a_n，n ∈N^*，p > 0且p≠1，數列{b_n}滿足b_n = 2log_pa_n．
（Ⅰ）若p =，設數列的前n項和為T_n，求證：0 < T_n≤4；
（Ⅱ）是否存在自然數M，使得當n > M時，a_n > 1恒成立？若存在，求出相應的M；若不存在，請說明理由．

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一、選擇題（每題5分共50分）

1．D            2．A            3．Ｂ           4．C            5．C           

6．Ｃ       7．Ｂ        8．Ｃ    9．C    10．D

二、填空題（每題5分共20分）

       11．          12．                 13．                  

14．（0，2），               15．3

三、解答題（共80分）

16．解：（Ⅰ）由已知得：，  

又是△ABC的內角，所以．    

（2）由正弦定理：，

又因為，，又是△ABC的內角，所以．

17．證明：連結AB，A₁D，在正方形中，A₁B=A₁D，O是BD中點，

∴A₁O⊥BD；                 

連結OM，A₁M，A₁C₁，設AB=a，則AA₁=a，MC=a=MC₁

OA=OC=a，AC=a，

∴A₁O²=A₁A²+AO²=a²+a²=a²，OM²=OC²+MC²=a²，A₁M²=A₁C₁²+MC₁²=2a²+a²=a²,∴A₁M²=A₁O²+OM²，

∴A₁O⊥OM，  

∴AO₁⊥平面MBD

18解：（Ⅰ），

因為函數在及取得極值，則有，．

即

解得，．

（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，，

．

當時，；

當時，；

當時，．

所以，當時，取得極大值，又，．

則當時，的最大值為．

因為對于任意的，有恒成立，

所以　，

解得　或，

因此的取值范圍為．

19．解（Ⅰ）由題意知，　　　  

當n≥2時，，，

兩式相減得

整理得：   　

∴數列{}是以2為首項，2為公比的等比數列。

∴　　　

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，∴b_n=n　　

， …………①

， …………②

①－②得

， 　　

∴， 　　　

∴， 　　

20．解：設這臺機器最佳使用年限是n年,則n年的保養、維修、更換易損零件的總費用為：

，

等號當且僅當

答：這臺機器最佳使用年限是12年，年平均費用的最小值為1.55萬元．

21．⑴c=2, a=3 雙曲線的方程為

⑵ 得 (1?3k²)x²?6kx?9=0

  x₁＋x₂= , x₁x₂=

由△>0 得 k²<1

  由= x₁x₂＋y₁y₂=(1＋k²) x₁x₂＋k(x₁＋x₂)＋2>2得 <k²<3

  所以，<k²<1

即k∈(?1, )∪( , 1 )

附加題

(1)證明：先將變形：,

當，即時，∴恒成立，

故的定義域為。                                     

反之，若對所有實數都有意義，則只須。

令，即，解得，故。  

(2)解析：設，

∵是增函數，

∴當最小時，最小。

而，                               

 顯然，當時，取最小值為，

此時為最小值。                      

(3)證明：當時，，

當且僅當m=2時等號成立。                                  

∴。