題目列表(包括答案和解析)
某車間有50名工人，要完成150件產(chǎn)品的生產(chǎn)任務(wù)，每件產(chǎn)品由3個
型零件和1個
型零件配套組成，每個工人每小時能加工5個型零件或者3個型零件，現(xiàn)在把這些工人分成兩組同時工作（分組后人數(shù)不再進行調(diào)整），每組加工同一種型號的零件.設(shè)加工型零件的工人人數(shù)為
名（
N
）.
（1）設(shè)完成、B型零件加工所需時間分別為
、
小時，寫出和的解析式；
（2）為了在最短時間內(nèi)完成全部生產(chǎn)任務(wù)，應(yīng)取何值，最短時間是多少？
說明：1．參考答案與評分標(biāo)準(zhǔn)指出了每道題要考查的主要知識和能力，并給出了一種或幾種解法供參考，如果考生的解法與參考答案不同，可根據(jù)試題主要考查的知識點和能力比照評分標(biāo)準(zhǔn)給以相應(yīng)的分?jǐn)?shù)．
2．對解答題中的計算題，當(dāng)考生的解答在某一步出現(xiàn)錯誤時，如果后繼部分的解答未改變該題的內(nèi)容和難度，可視影響的程度決定后繼部分的得分，但所給分?jǐn)?shù)不得超過該部分正確解答應(yīng)得分?jǐn)?shù)的一半；如果后繼部分的解答有較嚴(yán)重的錯誤，就不再給分．
3．解答右端所注分?jǐn)?shù)，表示考生正確做到這一步應(yīng)得的累加分?jǐn)?shù)．
4．只給整數(shù)分?jǐn)?shù)，選擇題和填空題不給中間分．
一、選擇題：本大題主要考查基本知識和基本運算．共8小題，每小題5分，滿分40分．
題號
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
A
B
C
D
A
C
B
D
二、填空題：本大題主要考查基本知識和基本運算．本大題共7小題，每小題5分，滿分30分．其中13～15是選做題,考生只能選做兩題. 第12題第一個空2分，第二個空3分．
9．
10．
11．
12．-1；4 13．
14．1 15. 
三、解答題：本大題共6小題，滿分80分．解答須寫出文字說明、證明過程和演算步驟．
16．（本小題滿分12分）
（本小題主要考查正弦定理、余弦定理、同角三角函數(shù)的基本關(guān)系等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力）
解: (1)∵
, 且
,
∴ 
.
由正弦定理得
.
∴
.
(2)∵
∴
.
∴ 
.
由余弦定理得
,
∴
.
17．（本小題滿分14分）
（本小題主要考查概率、隨機變量的分布列及其數(shù)學(xué)期望等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力）
解：（1）記“甲射擊一次,擊中目標(biāo)”為事件
，“乙射擊一次,擊中目標(biāo)”為事件
，“甲射擊一次,
未擊中目標(biāo)”為事件
，“乙射擊一次,未擊中目標(biāo)”為事件
，
則
，
.
依題意得
，
解得
.
故
的值為
.
（2）
的取值分別為
.
，
，
，
的分布列為
0
2
4
18．（本小題滿分14分）
（本小題主要考查空間中線面的位置關(guān)系、空間的角、幾何體體積等基礎(chǔ)知識，考查空間想象能力、推理論證能力和運算求解能力）
(1)
證明: ∵
分別是棱
的中點，
∴
是△
的中位線.
∴
.
∵
平面
平面
∴
平面
.
同理可證 
平面.
∵
平面
,
平面,
∴平面// 平面
.
(2) 求三棱錐
的體積的最大值, 給出如下兩種解法:
解法1: 由已知
平面, 
,
∴
.
∴三棱錐的體積為
.
當(dāng)且僅當(dāng)
時等號成立，
取得最大值,其值為
, 此時
.
解法2：設(shè)
，在Rt△中，
.
∴三棱錐的體積為
.
∵
,
∴ 當(dāng)
，即
時，取得最大值，其值為，此時
.
求二面角
的平面角的余弦值, 給出如下兩種解法:
解法1:作
,垂足為
, 連接
.
∵ 平面，平面
平面,
∴ 平面.
∵ 
平面,
∴ 
.
∵ 
,
∴ 
平面
.
∵
平面,
∴.
∴ 
是二面角的平面角.
在Rt△
中,
,
∴
.
在Rt△
中,
,
.
∴二面角的平面角的余弦值為
.
解法2:分別以
所在直線為
軸, 
軸, 
軸,建立如圖的空間直角坐標(biāo)系
,
則
.
∴
.
設(shè)n
為平面
的法向量,
∴
即
令, 則
.
∴
為平面的一個法向量.
∵平面的一個法向量為
,
∴
.
∴二面角的平面角的余弦值為
.
19．（本小題滿分12分）
（本小題主要考查函數(shù)最值、不等式、導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用等基礎(chǔ)知識，考查分類與整合的數(shù)學(xué)思想方法，以及運算求解能力和應(yīng)用意識）
解：（1）生產(chǎn)150件產(chǎn)品，需加工型零件450個，
則完成型零件加工所需時間
N
，且
.
（2）生產(chǎn)150件產(chǎn)品，需加工型零件150個，
則完成型零件加工所需時間
N，且.
設(shè)完成全部生產(chǎn)任務(wù)所需時間為
小時，則為與的較大者.
令
，即
，
解得
.
所以，當(dāng)
時，
；當(dāng)
時，
.
故
.
當(dāng)時，
，故在
上單調(diào)遞減，
則在
上的最小值為
（小時）；
當(dāng)時，
，故在
上單調(diào)遞增，
則在上的最小值為
（小時）；
，
在
上的最小值為
.
.
答：為了在最短時間內(nèi)完成生產(chǎn)任務(wù)，應(yīng)取
.
20．（本小題滿分14分）
（本小題主要考查圓、橢圓、直線等基礎(chǔ)知識和數(shù)學(xué)探究，考查數(shù)形結(jié)合、分類與整合的數(shù)學(xué)思想方法，以及推理論證能力、運算求解能力和創(chuàng)新意識）
解：（1）圓
， 圓心
的坐標(biāo)為
，半徑
.
∵
，
∴點
在圓內(nèi).
設(shè)動圓
的半徑為
，圓心為，依題意得
，且
，
即
.
∴圓心的軌跡是中心在原點，以
兩點為焦點，長軸長為
的橢圓,設(shè)其方程為
, 則
.
∴
.
∴所求動圓的圓心的軌跡方程為
.
(2)由
消去化簡整理得：
.
設(shè)
，
，則
.
△
. ①
由
消去化簡整理得：
.
設(shè)
，則
,
△
. ②
∵
，
∴
，即
，
∴
.
∴
或
.
解得
或
.
當(dāng)時,由①、②得 
，
∵
Z,
∴
的值為
，
，
;
當(dāng)，由①、②得 
，
∵
Z,
∴
.
∴滿足條件的直線共有9條．
21．（本小題滿分14分）
（本小題主要考查數(shù)列的通項公式、數(shù)列前
項和、不等式等基礎(chǔ)知識，考查化歸與轉(zhuǎn)化、分類與整合、特殊與一般的數(shù)學(xué)思想方法，以及推理論證能力、運算求解能力和抽象概括能力）
解: (1) ∵
是關(guān)于的方程
N
的兩根,
∴
求數(shù)列
的通項公式, 給出如下四種解法:
解法1: 由
,得
,
故數(shù)列
是首項為
,公比為
的等比數(shù)列.
∴
, 即
.
解法2: 由,兩邊同除以
, 得
,
令
, 則
.
故
.
且
也適合上式,
∴
, 即.
解法3： 由，得
，
兩式相減得
.
當(dāng)為正奇數(shù)時,
.
且
也適合上式.
當(dāng)為正偶數(shù)時,
.
且
也適合上式.
∴
當(dāng)
N時，
.
解法4：由，，得
，
.
猜想.
下面用數(shù)學(xué)歸納法證明猜想正確.
① 當(dāng)
時,易知猜想成立;
② 假設(shè)當(dāng)
N)時,猜想成立,即
,
由
,得
,
故當(dāng)
時,猜想也成立.
由①、②得，對任意N，.
∴
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