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平面圖形如圖4所示，其中是矩形，，，。現將該平面圖形分別沿和折疊，使與所在平面都與平面垂直，再分別連接，得到如圖2所示的空間圖形，對此空間圖形解答下列問題。

（Ⅰ）證明：；     
（Ⅱ）求的長；
（Ⅲ）求二面角的余弦值。

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平面圖形ABB₂A₂C₃C如圖4所示，其中BB₁C₁C是矩形，BC=2，BB₁=4，AB=AC=，A₁B₁=A₁C₁=．現將該平面圖形分別沿BC和B₁C₁折疊，使△ABC與△A₁B₁C₁所在平面都與平面BB₁C₁C垂直，再分別連接A₂A，A₂B，A₂C，得到如圖2所示的空間圖形，對此空間圖形解答下列問題．
（Ⅰ）證明：AA₁⊥BC；
（Ⅱ）求AA₁的長；
（Ⅲ）求二面角A-BC-A₁的余弦值．

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說明：1．參考答案與評分標準指出了每道題要考查的主要知識和能力，并給出了一種或幾種解法供參考，如果考生的解法與參考答案不同，可根據試題主要考查的知識點和能力比照評分標準給以相應的分數．

      2．對解答題中的計算題，當考生的解答在某一步出現錯誤時，如果后繼部分的解答未改變該題的內容和難度，可視影響的程度決定后繼部分的得分，但所給分數不得超過該部分正確解答應得分數的一半；如果后繼部分的解答有較嚴重的錯誤，就不再給分．

      3．解答右端所注分數，表示考生正確做到這一步應得的累加分數．

4．只給整數分數，選擇題和填空題不給中間分．

一、選擇題：本大題主要考查基本知識和基本運算．共8小題，每小題5分，滿分40分．

題號

1

2

3

4

5

6

7

8

答案

A

B

C

D

A

C

B

D

二、填空題：本大題主要考查基本知識和基本運算．本大題共7小題，每小題5分，滿分30分．其中13～15是選做題,考生只能選做兩題. 第12題第一個空2分，第二個空3分．

9．         10．    11．       12．-1；4     13．

14．1         15.   

三、解答題：本大題共6小題，滿分80分．解答須寫出文字說明、證明過程和演算步驟．

16．（本小題滿分12分）

（本小題主要考查正弦定理、余弦定理、同角三角函數的基本關系等基礎知識，考查運算求解能力）

解: (1)∵, 且,

     ∴ .                                      

     由正弦定理得.                                       

     ∴.                                     

   (2)∵                                        

     ∴.

     ∴ .                                                       

    由余弦定理得,

∴.     

17．（本小題滿分14分）

（本小題主要考查概率、隨機變量的分布列及其數學期望等基礎知識，考查運算求解能力）

解：（1）記“甲射擊一次,擊中目標”為事件，“乙射擊一次,擊中目標”為事件，“甲射擊一次,

未擊中目標”為事件，“乙射擊一次,未擊中目標”為事件，

則，.                        

依題意得，                                

        解得.

        故的值為.                                                    

（2）的取值分別為.                                            

，                      

，

，                     

的分布列為

0

2

4

18．（本小題滿分14分）

（本小題主要考查空間中線面的位置關系、空間的角、幾何體體積等基礎知識，考查空間想象能力、推理論證能力和運算求解能力）

 (1) 證明: ∵分別是棱的中點，

         ∴是△的中位線.

         ∴.                              

         ∵平面平面

         ∴平面.                                             

         同理可證 平面.       

∵平面,平面,

∴平面// 平面.                                      

(2) 求三棱錐的體積的最大值, 給出如下兩種解法:

解法1: 由已知平面, ,

    ∴.

    ∴三棱錐的體積為

                               .                                 

     當且僅當時等號成立，取得最大值,其值為, 此時.          

解法2：設，在Rt△中，.

      ∴三棱錐的體積為

                                 .   

       ∵,          

     ∴ 當，即時，取得最大值，其值為，此時.

    求二面角的平面角的余弦值, 給出如下兩種解法:

 解法1:作,垂足為, 連接.

      ∵ 平面，平面平面,

      ∴ 平面.

      ∵ 平面,     

∴ .

      ∵ ,     

∴ 平面.

∵平面,

      ∴.

     ∴ 是二面角的平面角.                              

     在Rt△中,,

     ∴.

在Rt△中,,

.

∴二面角的平面角的余弦值為.                     

解法2:分別以所在直線為軸, 軸, 軸,建立如圖的空間直角坐標系,

     則.

     ∴.  

   設n為平面的法向量,

∴

即

令, 則.

∴為平面的一個法向量.                           

∵平面的一個法向量為,

∴.             

∴二面角的平面角的余弦值為.                        

19．（本小題滿分12分）

（本小題主要考查函數最值、不等式、導數及其應用等基礎知識，考查分類與整合的數學思想方法，以及運算求解能力和應用意識）

解：（1）生產150件產品，需加工型零件450個，

則完成型零件加工所需時間N，且.   

     （2）生產150件產品，需加工型零件150個，

 則完成型零件加工所需時間N，且.

設完成全部生產任務所需時間為小時，則為與的較大者.

令，即，

解得.                                                       

所以，當時，；當時，.

故.                             

當時，，故在上單調遞減，

則在上的最小值為（小時）；                  

 當時，，故在上單調遞增，

則在上的最小值為（小時）；            

，

在上的最小值為.

.

答：為了在最短時間內完成生產任務，應取.                        

20．（本小題滿分14分）

（本小題主要考查圓、橢圓、直線等基礎知識和數學探究，考查數形結合、分類與整合的數學思想方法，以及推理論證能力、運算求解能力和創新意識）

解：（1）圓， 圓心的坐標為，半徑.

∵，

∴點在圓內.                                                   

設動圓的半徑為，圓心為，依題意得，且，

即.                                               

∴圓心的軌跡是中心在原點，以兩點為焦點，長軸長為的橢圓,設其方程為

,  則.

∴.

∴所求動圓的圓心的軌跡方程為.                          

 (2)由 消去化簡整理得：.

設，，則.

△.  ①                              

由 消去化簡整理得：.

設，則,

△.  ②                          

∵，

∴，即，

∴.

∴或.

解得或.                                                                     

當時,由①、②得  ，

∵Z,

∴的值為 ，，;

當，由①、②得  ，

∵Z,

∴.

∴滿足條件的直線共有9條．                                            

21．（本小題滿分14分）

（本小題主要考查數列的通項公式、數列前項和、不等式等基礎知識，考查化歸與轉化、分類與整合、特殊與一般的數學思想方法，以及推理論證能力、運算求解能力和抽象概括能力）

解: (1) ∵是關于的方程N的兩根,

      ∴                                                  

     求數列的通項公式, 給出如下四種解法:                

解法1: 由,得,                  

     故數列是首項為,公比為的等比數列.

∴, 即.                     

解法2: 由,兩邊同除以, 得,

     令, 則.

故

     .

且也適合上式,

∴, 即.                     

解法3：  由，得，

       兩式相減得.

       當為正奇數時,

                       .

       且也適合上式.

       當為正偶數時,

                         .

       且也適合上式.

       ∴ 當N時，.                                   

解法4：由，，得，

.

     猜想.

下面用數學歸納法證明猜想正確.

①     當時,易知猜想成立;

② 假設當N)時,猜想成立,即,

   由,得,

  故當時,猜想也成立.

由①、②得，對任意N，.                

∴